第十三章 静不定问题

多余约束赋予结构更多的刚度，却也带来了求解的挑战——变形协调是解锁的钥匙。 —— 材料力学

13.1 基本概念

静定与静不定结构

若一个结构的所有支座反力和内力均可仅由静力平衡方程（$\sum F=0$，$\sum M=0$）完全确定，则称为静定结构（Statically Determinate Structure）。若未知力的数目多于独立平衡方程的数目，则称为静不定结构（Statically Indeterminate Structure），也称超静定结构。

多余约束与多余未知力

在静不定结构中，为了保持结构的几何不变性，存在一些并非维持平衡所必需的约束，这些约束称为多余约束（Redundant Constraint）。多余约束对应的约束反力（或内力）称为多余未知力（Redundant Unknown）。多余未知力的数目等于静不定次数。

静不定次数的判定：

$$\text{静不定次数}=\text{未知力总数}-\text{独立平衡方程数}$$

对于平面一般力系，每个物体的独立平衡方程数为 3（$\sum F_x=0$，$\sum F_y=0$，$\sum M_z=0$）。

13.2 力法（变形比较法）

13.2.1 基本思想

将多余的约束反力（或内力）作为未知量，解除多余约束后得到一个静定结构（称为静定基或基本体系）。在多余约束处，根据原结构的变形条件（位移或转角等于实际值，通常为 0 或已知值），建立补充方程（称为变形协调方程）。联立平衡方程和协调方程即可求出所有未知力。

13.2.2 力法求解的一般步骤

1. 判定静不定次数，确定多余约束。
2. 选取静定基：解除多余约束，代之以相应的多余未知力（或力偶）。
3. 建立变形协调方程：在多余约束处，将静定基在多余未知力和外载荷共同作用下的位移（或转角）与原结构的实际位移相等（通常为 0）。
4. 利用叠加原理计算各多余未知力和外载荷单独作用下在多余约束处产生的位移。
5. 求解力法方程（通常是关于多余未知力的线性代数方程组），得到多余未知力。
6. 由平衡方程求其余反力，然后进行强度、刚度计算。

13.2.3 力法正则方程

对于 $n$ 次静不定结构，设多余未知力为 $X_1,X_2,\dots,X_n$，则变形协调方程可写为：

$$\begin{cases} \delta_{11}X_1+\delta_{12}X_2+\cdots+\delta_{1n}X_n+\Delta_{1P}=0\\ \delta_{21}X_1+\delta_{22}X_2+\cdots+\delta_{2n}X_n+\Delta_{2P}=0\\ \quad\cdots\\ \delta_{n1}X_1+\delta_{n2}X_2+\cdots+\delta_{nn}X_n+\Delta_{nP}=0 \end{cases}$$

其中 $\delta_{ij}$ 表示在 $j$ 处作用单位广义力（或单位力偶）时，在 $i$ 处产生的广义位移（柔度系数），$\Delta_{iP}$ 为外载荷单独作用时在 $i$ 处产生的广义位移。由位移互等定理，$\delta_{ij}=\delta_{ji}$，故柔度矩阵对称。

$$\begin{aligned} \delta_{ij}={}&\int\frac{\overline{M}_i\overline{M}_j}{EI}\,\mathrm{d}x+\int\frac{\overline{F}_{Ni}\overline{F}_{Nj}}{EA}\,\mathrm{d}x\\ &+\int\frac{\overline{T}_i\overline{T}_j}{GI_p}\,\mathrm{d}x \end{aligned}$$

其中 $\overline{M}_i$、$\overline{F}_{Ni}$、$\overline{T}_i$ 分别为在 $i$ 处作用单位广义力时产生的弯矩、轴力、扭矩。

13.3 对称性在静不定问题中的应用

当结构具有对称的几何形状、支承条件和材料性质时，可利用对称性简化计算。

13.3.1 对称结构

对称结构

若结构的几何形状、支承条件和截面尺寸关于某一轴线对称，则称为对称结构。

13.3.2 载荷的分类

• 对称载荷：载荷的作用线、大小和方向关于对称轴对称。在对称载荷作用下，结构的内力和变形具有对称性。
• 反对称载荷：载荷关于对称轴反对称（即对称轴一侧的载荷与另一侧大小相等、方向相反）。在反对称载荷作用下，结构的内力和变形具有反对称性。

13.3.3 对称性简化规则

对于对称结构，在对称载荷作用下：

1. 对称轴截面上的剪力 $F_Q$ 和扭矩 $T$ 为零。
2. 对称轴截面上的转角 $\theta$ 为零（因为变形对称，切线水平）。
3. 对称轴截面的挠度 $w$ 不一定为零（若载荷向下，中间点可能向下位移），但斜率（转角）为零。

在反对称载荷作用下：

1. 对称轴截面上的轴力 $F_N$ 和弯矩 $M$ 为零。
2. 对称轴截面的挠度 $w$ 为零（变形反对称，中间点不移动）。
3. 对称轴截面上的转角 $\theta$ 不一定为零。

这些性质可大幅减少未知量的数目。通常，利用对称性可将结构在对称轴处“切开”，取一半结构进行分析，并在切口处施加适当的约束（或释放约束）以体现对称或反对称条件。

13.3.4 对称性与力法的结合

在静不定次数较高时，先利用对称性将结构分解为对称和反对称两部分，分别求解，再叠加。这比直接解高阶力法方程要简便得多。

对称性在力法中的使用步骤

1. 判断结构是否对称，载荷是否对称或反对称。
2. 若载荷为任意，可将其分解为对称载荷与反对称载荷的叠加。
3. 分别计算对称和反对称情况下的内力（此时多余未知量因对称性而减少）。
4. 将结果叠加得到原结构的解。