第十章 组合变形

你偷走了我的影子，不论你在哪里，我都会一直想着你。 —— 马克·李维

10.1 概述

组合变形

构件在外力作用下，同时发生两种或两种以上基本变形（拉伸/压缩、剪切、扭转、弯曲）的情况，称为组合变形。

工程实际中的构件往往同时承受多种载荷，如：

• 斜弯曲（双向弯曲）
• 拉伸（压缩）与弯曲的组合
• 偏心拉伸（压缩）
• 弯曲与扭转的组合
• 拉伸（压缩）、弯曲与扭转的组合

组合变形的分析方法——叠加原理

对于线弹性小变形构件，组合变形中各基本变形引起的应力、位移可以分别计算，然后进行叠加。适用条件：

1. 材料服从胡克定律（线弹性）。
2. 变形很小，各基本变形的独立性成立（互不影响）。
3. 应力与载荷成线性关系。

10.2 斜弯曲（双向弯曲）

斜弯曲

当梁的横向力不通过梁的纵向对称面（或与形心主轴不重合）时，梁的弯曲变形发生在两个相互垂直的平面内，这种弯曲称为斜弯曲。

10.2.1 应力计算

设梁的截面具有两个形心主轴 $y$ 和 $z$，外力 $F$ 与 $z$ 轴的夹角为 $\varphi$（在横向平面内）。将外力分解为沿 $y$ 和 $z$ 方向的两个分力：

$$F_y=F\cos\varphi,\quad F_z=F\sin\varphi$$

它们分别在 $xz$ 平面和 $xy$ 平面内产生平面弯曲。截面上任一点 $(y,z)$ 处的正应力为两个平面弯曲应力的代数和：

$$\sigma(x,y,z)=\frac{M_z(x)}{I_z}y+\frac{M_y(x)}{I_y}z$$

其中 $M_z$ 为绕 $z$ 轴的弯矩（引起 $y$ 方向的弯曲），$M_y$ 为绕 $y$ 轴的弯矩（引起 $z$ 方向的弯曲）。符号由弯矩方向及点的位置决定（拉正压负）。

10.2.2 中性轴位置

中性轴上各点正应力为零：

$$\frac{M_z}{I_z}y+\frac{M_y}{I_y}z=0$$

即中性轴是一条过截面形心的直线，其斜率与弯矩分量和惯性矩有关。中性轴将截面分为拉、压两个区域。

10.2.3 最大正应力

最大正应力发生在距中性轴最远的点（通常是截面的角点）：

$$\sigma_{\max}=\frac{|M_z|}{W_z}+\frac{|M_y|}{W_y}$$

其中 $W_z=I_z/y_{\max}$，$W_y=I_y/z_{\max}$（若考虑正负号，需取代数叠加）。

斜弯曲强度条件

$$\sigma_{\max}=\left|\frac{M_z}{W_z}\pm\frac{M_y}{W_y}\right|\le[\sigma]$$

对于矩形、工字形等具有两个对称轴的截面，$\sigma_{\max}=\dfrac{\vert M_z\vert }{W_z}+\dfrac{\vert M_y\vert }{W_y}$。

10.3 拉伸（压缩）与弯曲的组合

10.3.1 横向力与轴向力同时作用

当杆件同时承受轴向力 $F_N$ 和横向力（产生弯矩 $M$）时，截面上的正应力为：

$$\sigma=\frac{F_N}{A}\pm\frac{M}{W}$$

符号取决于轴力是拉还是压，弯矩方向与所求点位置。

10.3.2 偏心拉伸（压缩）

偏心拉伸（压缩）

外力作用线平行于杆的轴线但不通过截面形心时，杆件发生偏心拉伸或压缩。可等效为轴向拉伸（压缩）和弯曲的组合。

设偏心力 $F$ 作用点坐标为 $(e_y,e_z)$（在截面形心坐标系中），则等效内力为：

$$F_N=F,\quad M_y=Fe_z,\quad M_z=Fe_y$$

（符号需根据力作用点位置确定）。截面上任一点 $(y,z)$ 的正应力：

$$\sigma=\frac{F}{A}+\frac{Fe_y}{I_z}y+\frac{Fe_z}{I_y}z$$

（拉为正，压为负；弯矩符号按实际方向确定）。

10.3.3 截面核心

截面核心

对于仅受压（或仅受拉）的构件，若偏心压力（或拉力）的作用点位于截面形心附近的某个区域内，则截面上不出现拉应力（或不出现压应力），该区域称为截面核心。

确定截面核心的方法是：使中性轴与截面边界相切，求出对应的偏心距，这些偏心距包围的区域即为截面核心。常见截面的截面核心：

• 矩形截面：核心为菱形，顶点在对称轴上，距形心 $h/6$ 和 $b/6$。
• 圆形截面：核心为同心圆，半径 $d/8$。
• 圆环形截面：核心为同心圆，半径 $\dfrac{D^2+d^2}{8D}$（近似）。

$$\text{矩形截面核心范围：}\quad |e_y|\le\frac{h}{6},\quad |e_z|\le\frac{b}{6}$$

10.4 弯曲与扭转的组合

10.4.1 圆轴弯扭组合

圆轴同时承受弯矩 $M$ 和扭矩 $T$ 时，横截面上存在弯曲正应力和扭转切应力。

• 弯曲正应力 $\sigma=\dfrac{M}{W}$（在上下边缘最大）。
• 扭转切应力 $\tau=\dfrac{T}{W_p}$（在圆周表面最大，其中 $W_p$ 为抗扭截面系数）。

危险点位于圆轴表面，该点处于平面应力状态（$\sigma$ 和 $\tau$ 同时存在）。根据第三或第四强度理论，建立相当应力：

弯扭组合的强度条件

对于圆轴，按第三强度理论：

$$\sigma_{r3}=\sqrt{\sigma^2+4\tau^2}=\frac{1}{W}\sqrt{M^2+T^2}\le[\sigma]$$

按第四强度理论：

$$\sigma_{r4}=\sqrt{\sigma^2+3\tau^2}=\frac{1}{W}\sqrt{M^2+0.75T^2}\le[\sigma]$$

其中 $W$ 为弯曲抗弯截面系数，对于圆轴 $W=\dfrac{\pi d^3}{32}$，且 $W_p=2W$，故 $T$ 项系数有所不同。

10.4.2 弯拉（压）扭组合

若圆轴同时受轴向力 $F_N$、弯矩 $M$ 和扭矩 $T$，则危险点的正应力由轴向力和弯矩共同产生：

$$\sigma=\frac{F_N}{A}+\frac{M}{W}$$

切应力仍为 $\tau=\dfrac{T}{W_p}$。相当应力按第三或第四强度理论计算，将 $\sigma$ 和 $\tau$ 代入即可。

$$\begin{aligned} \text{第三强度理论：}&\quad \sigma_{r3}=\sqrt{\left(\frac{F_N}{A}+\frac{M}{W}\right)^2+4\left(\frac{T}{W_p}\right)^2}\le[\sigma]\\[6pt] \text{第四强度理论：}&\quad \sigma_{r4}=\sqrt{\left(\frac{F_N}{A}+\frac{M}{W}\right)^2+3\left(\frac{T}{W_p}\right)^2}\le[\sigma] \end{aligned}$$

10.5 组合变形的一般步骤

1. 外力分析：将外力向杆件形心简化，分解为产生各基本变形的载荷分量。
2. 内力分析：画出各基本变形对应的内力图（轴力、剪力、弯矩、扭矩），确定危险截面。
3. 应力分析：在危险截面上确定危险点，计算各基本变形在该点产生的应力分量。
4. 强度计算：对于单向应力状态，叠加求最大应力；对于平面应力状态，应用合适的强度理论计算相当应力。
5. 校核或设计：校核 $\sigma_{\max}\le[\sigma]$ 或 $\sigma_{ri}\le[\sigma]$，或由此确定截面尺寸或许用载荷。