第八章 弯曲变形

8.1 基本概念与基本假设

挠曲线

梁在弯曲变形后，其轴线变成一条光滑连续的曲线，称为挠曲线（或弹性曲线）。用 $w(x)$ 表示梁轴线上各点的竖向位移（挠度），以向下为正（或向上，视约定而定），则挠曲线方程即为 $w=w(x)$。

转角

梁横截面绕中性轴转动的角度称为转角，用 $\theta(x)$ 表示。在小变形条件下，转角等于挠曲线在该点的切线与梁轴线的夹角，即

$$\theta(x)\approx\tan\theta(x)=\frac{dw}{dx}$$

转角通常以顺时针为正（或逆时针，需统一约定）。

弯曲变形的基本假设

1. 小变形假设：梁的变形远小于其尺寸，挠曲线近似为水平线，因此可近似用 $\theta\approx w'$ 且忽略轴向位移。
2. 线弹性假设：材料服从胡克定律，应力与应变成正比，弹性模量 $E$ 为常数。
3. 平面截面假设：梁的横截面在变形后仍保持为平面，且仍垂直于变形后的轴线（欧拉-伯努利梁理论）。
4. 忽略剪切变形：仅考虑弯曲引起的变形，剪应力对挠度的影响忽略不计（适用于细长梁）。

8.2 挠曲线近似微分方程

挠曲线近似微分方程

在纯弯曲或横力弯曲（忽略剪力影响）情况下，梁的挠曲线 $w(x)$ 满足以下二阶线性常微分方程：

$$\frac{d^2w}{dx^2}=\frac{M(x)}{EI}$$

其中 $M(x)$ 为梁截面上的弯矩（以使梁下凸为正），$E$ 为材料的弹性模量，$I$ 为截面对中性轴的惯性矩。乘积 $EI$ 称为梁的抗弯刚度。

若采用符号约定（弯矩符号与挠度符号一致），上式即为挠曲线的近似微分方程。更精确的表达式（考虑大变形）为

$$\frac{w''}{(1+w'^2)^{3/2}}=\frac{M}{EI}$$

但在小变形条件下，因 $w'\ll 1$，可简化为上述线性方程。

$$\boxed{\displaystyle EI\,w''(x)=M(x)}\quad\text{（弯曲变形的基本微分方程）}$$

由该方程可直接导出转角与挠度的关系：

$$\theta(x)=w'(x)=\int\frac{M(x)}{EI}\,dx+C_1$$

$$w(x)=\iint\frac{M(x)}{EI}\,dx\,dx+C_1x+C_2$$

其中 $C_1,C_2$ 由梁的边界条件（支座约束）确定。

8.3 积分法求弯曲变形

8.3.1 边界条件与连续条件

边界条件

梁的支座处对挠度和转角的限制条件称为边界条件。常见形式如下：

• 固定端：$w=0,\ \theta=0$（即 $w'=0$）。
• 铰支座（固定铰或可动铰）：$w=0$，转角自由。
• 自由端：无约束，弯矩和剪力为零，即 $M=0,\ F_Q=0$，对应 $w''=0,\ w'''=0$（若采用四阶微分方程）。

连续条件

在梁的分段点（如集中力、集中力偶作用处或截面突变处），挠度 $w$ 和转角 $\theta$ 必须连续（即 $w$ 和 $w'$ 在分段点两侧的值相等），以保证挠曲线是一条光滑连续曲线。

8.3.2 积分法步骤

1. 分段写出弯矩方程 $M(x)$（需根据载荷情况分段）。
2. 对每一段积分两次，得到含积分常数的挠度和转角表达式。
3. 利用边界条件和连续条件确定所有积分常数。
4. 代入后即得各段的转角方程和挠曲线方程。
5. 若需求最大挠度或转角，可令 $w'=0$ 求极值点，再计算对应值。

$$\begin{aligned} EI\,\theta(x) &= EI\,w'(x)=\int M(x)\,dx+C_1\\ EI\,w(x) &= \iint M(x)\,dx\,dx+C_1x+C_2 \end{aligned}$$

8.4 叠加法求弯曲变形

叠加原理

对于线弹性小变形梁，当梁上同时作用多个载荷时，梁的挠度（或转角）等于各个载荷单独作用时所产生的挠度（或转角）的代数和。即

$$w=w_1+w_2+\cdots+w_n,\quad \theta=\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_n$$

其中 $w_i,\theta_i$ 分别为第 $i$ 个载荷单独作用时引起的位移。

使用条件：

• 材料服从胡克定律（线弹性）。
• 变形很小，挠曲线近似微分方程线性。
• 载荷与位移成线性关系。

8.4.1 常用叠加结果（简支梁、悬臂梁）

为了方便查用，以下列出几种典型载荷下的最大挠度和最大转角（取 $EI$ 为常数）：

$$\begin{aligned} \text{悬臂梁（自由端受集中力 }P\text{）：}&\quad w_{\max}=\frac{PL^3}{3EI},\quad \theta_{\max}=\frac{PL^2}{2EI}\\[4pt] \text{悬臂梁（自由端受集中力偶 }M_0\text{）：}&\quad w_{\max}=\frac{M_0L^2}{2EI},\quad \theta_{\max}=\frac{M_0L}{EI}\\[4pt] \text{简支梁（跨中受集中力 }P\text{）：}&\quad w_{\max}=\frac{PL^3}{48EI},\quad \theta_{\max}=\frac{PL^2}{16EI}\quad(\text{端部})\\[4pt] \text{简支梁（受均布载荷 }q\text{）：}&\quad w_{\max}=\frac{5qL^4}{384EI},\quad \theta_{\max}=\frac{qL^3}{24EI}\quad(\text{端部}) \end{aligned}$$

8.5 简单超静定梁

超静定梁

支座反力数目多于独立平衡方程数目的梁称为超静定梁。其未知力（包括反力、内力）不能仅由静力平衡方程完全确定，需补充变形协调条件。

8.5.1 求解思路（变形比较法）

1. 解除多余约束，将超静定梁转化为静定基（基本系统）。
2. 在多余约束处施加相应的多余未知力（反力或力矩），使其变形与原结构一致。
3. 利用叠加法或积分法，列出多余约束处的变形协调方程（位移或转角等于已知值，通常为 0）。
4. 联立平衡方程与协调方程，解出所有未知反力。
5. 一旦所有反力求出，后续内力、应力、变形计算同静定梁。

变形协调方程的一般形式

设 $\delta_{ij}$ 表示在 $j$ 处单位力（或单位力偶）作用下在 $i$ 处产生的位移（或转角），则对于有 $n$ 个多余约束的超静定梁，协调方程可写为：

$$\sum_{j=1}^{n}\delta_{ij}X_j+\Delta_{iP}=\Delta_i\quad(i=1,2,\dots,n)$$

其中 $X_j$ 为多余未知力，$\Delta_{iP}$ 为外载荷在 $i$ 处产生的位移，$\Delta_i$ 为原结构在 $i$ 处的已知位移（通常为 0）。

8.5.2 常见超静定梁示例

1. 一端固定、另一端铰支的梁：有一个多余约束（铰支处的竖向反力为多余未知力）。
2. 两端固定的梁：有两个多余约束（两端分别有一个多余反力偶和竖向反力）。
3. 连续梁：多跨连续梁，中间支座处有多个多余约束。

$$\begin{aligned} \text{平衡方程：}&\quad \sum F=0,\ \sum M=0\\ \text{协调方程：}&\quad w_B=0\quad\text{（若 B 端为多余约束）}\\ \text{或}&\quad \theta_A=0\quad\text{（若 A 端为固定端）} \end{aligned}$$

本章小结

• 弯曲变形的核心是挠曲线微分方程 $EIw''=M(x)$，它是所有分析方法的基础。
• 积分法通用但计算量大，适用于任意载荷；叠加法利用线性性质，快速简便。
• 超静定梁需结合变形协调条件，通过变形比较法或力法求解。
• 实际工程中，需控制梁的最大挠度不超过许用值，以保证刚度要求。