第十一章 压杆稳定性

世界巨大

我以渺小来爱它

时间悠长

我以短暂来爱它

我急切，滚烫

配得上慢慢活着

也配得上突然死亡

11.1 压杆稳定的基本概念

失稳与临界压力

对于细长压杆，当轴向压力 $F$ 小于某一极限值时，杆件保持直线平衡状态；若受到微小侧向干扰，撤去干扰后杆件能恢复直线平衡，则称该平衡是稳定的。当压力 $F$ 超过该极限值时，微小的干扰会使杆件发生显著弯曲变形甚至破坏，这种平衡状态称为不稳定的。压力由稳定平衡过渡到不稳定平衡的临界值称为临界压力，记作 $F_{\text{cr}}$。

临界压力的实验现象

当作用在细长压杆上的轴向压力达到临界压力 $F_{\text{cr}}$ 时，杆件可以保持在微弯状态下的平衡；压力稍大于 $F_{\text{cr}}$ 时，弯曲变形迅速增大，最终导致压杆失效。

11.2 细长压杆的临界压力——欧拉公式

考虑两端铰支的理想细长压杆，长度为 $l$，弯曲刚度为 $EI$。设压力 $F$ 达到临界值 $F_{\text{cr}}$ 时杆件处于微弯平衡状态，挠曲线方程为 $w(x)$。由弯矩平衡得：

$$M(x)=-F_{\text{cr}}w(x)$$

而梁的近似挠曲线微分方程为：

$$EI\,w''(x)=M(x)=-F_{\text{cr}}w(x)$$

令 $k^2=\dfrac{F_{\text{cr}}}{EI}$，则：

$$w''+k^2w=0$$

通解为：

$$w(x)=A\sin kx+B\cos kx$$

利用边界条件 $w(0)=0$ 得 $B=0$；再由 $w(l)=0$ 得 $A\sin kl=0$。若 $A\neq 0$（非平凡解），则需 $\sin kl=0$，故：

$$kl=n\pi\quad(n=1,2,3,\dots)$$

取最小非零解 $n=1$，得到临界压力：

$$F_{\text{cr}}=\frac{\pi^2EI}{l^2}$$

此为两端铰支压杆的欧拉公式。

欧拉公式（两端铰支）

两端铰支的细长压杆，其临界压力为：

$$\boxed{F_{\text{cr}}=\frac{\pi^2EI}{l^2}}$$

式中 $E$ 为材料的弹性模量，$I$ 为横截面的最小形心主惯性矩（因为压杆总是在抗弯能力最弱的方向失稳），$l$ 为压杆长度。

11.3 不同约束条件下的欧拉公式

对于不同支座条件，只需将欧拉公式中的长度 $l$ 换算为相当长度 $\mu l$，其中 $\mu$ 称为长度因数。临界压力的一般形式为：

$$F_{\text{cr}}=\frac{\pi^2EI}{(\mu l)^2}$$

常见约束的长度因数如下表所示：

约束形式	长度因数 $\mu$	失稳时挠曲线形状特征
两端铰支	$1.0$	正弦半波
一端固定、一端自由	$2.0$	正弦四分之一波
一端固定、一端铰支	$0.7$	正弦 0.7 波
两端固定	$0.5$	正弦半波（两端有拐点）

临界应力与柔度

压杆的柔度（长细比）定义为：

$$\lambda=\frac{\mu l}{i},\quad i=\sqrt{\frac{I}{A}}$$

其中 $i$ 为截面的惯性半径。临界应力为：

$$\sigma_{\text{cr}}=\frac{F_{\text{cr}}}{A}=\frac{\pi^2E}{\lambda^2}$$

11.4 欧拉公式的适用范围

欧拉公式推导中使用了线弹性小变形假设，因此临界应力不能超过材料的比例极限 $\sigma_p$：

$$\frac{\pi^2E}{\lambda^2}\le\sigma_p\quad\Rightarrow\quad\lambda\ge\pi\sqrt{\frac{E}{\sigma_p}}\triangleq\lambda_p$$

$\lambda_p$ 称为比例极限柔度。当 $\lambda\ge\lambda_p$ 时，欧拉公式适用，此类压杆称为大柔度杆（细长杆）。

常见材料的 $\lambda_p$ 参考值：

• Q235 钢：$E\approx 206\,\text{GPa},\ \sigma_p\approx 200\,\text{MPa}$，$\lambda_p\approx 100$
• 铸铁：$\lambda_p\approx 80$
• 木材：$\lambda_p\approx 110$

11.5 中、小柔度杆的经验公式

当 $\lambda<\lambda_p$ 时，欧拉公式失效，需采用经验公式。

直线公式（中柔度杆）

对于中柔度杆（$\lambda_c\le\lambda<\lambda_p$，$\lambda_c$ 为材料常数），临界应力与柔度成线性关系：

$$\sigma_{\text{cr}}=a-b\lambda$$

式中 $a,b$ 为与材料有关的常数，可通过实验测定。例如 Q235 钢（$\lambda_c\approx 60$）：$a=304\,\text{MPa}$，$b=1.12\,\text{MPa}$。

抛物线公式

某些规范（如我国钢结构设计规范）推荐采用抛物线公式：

$$\sigma_{\text{cr}}=\sigma_s\left[1-\alpha\left(\frac{\lambda}{\lambda_c}\right)^2\right]$$

其中 $\sigma_s$ 为屈服极限，$\alpha$ 为系数（通常取 0.43 左右），$\lambda_c$ 为抛物线公式适用的上限柔度。

对于小柔度杆（$\lambda<\lambda_c$），压杆破坏主要是强度问题，取：

$$\sigma_{\text{cr}}=\sigma_s\quad\text{（塑性材料）}\quad\text{或}\quad\sigma_{\text{cr}}=\sigma_b\quad\text{（脆性材料）}$$

压杆分类汇总

• 大柔度杆（$\lambda\ge\lambda_p$）：弹性失稳，用欧拉公式。
• 中柔度杆（$\lambda_c\le\lambda<\lambda_p$）：弹塑性失稳，用直线公式或抛物线公式。
• 小柔度杆（$\lambda<\lambda_c$）：强度破坏，按压缩强度计算。

11.6 压杆的稳定校核

为保证压杆安全工作，必须满足稳定条件：

$$\frac{F_{\text{cr}}}{F}\ge n_{\text{st}}\quad\text{或}\quad\frac{\sigma_{\text{cr}}}{\sigma}\ge n_{\text{st}}$$

其中 $n_{\text{st}}$ 为规定的稳定安全系数，一般大于强度安全系数（$n_{\text{st}}=1.5\sim 3.0$）。

工程上常采用折减系数法：

$$\sigma=\frac{F}{A}\le\varphi(\lambda)[\sigma]$$

式中 $\varphi(\lambda)$ 为稳定系数（小于 1），可从规范中查得；$[\sigma]$ 为材料的许用压应力。

$$\begin{aligned} \text{稳定条件（安全系数法）：}&\quad n=\frac{F_{\text{cr}}}{F}\ge n_{\text{st}}\\[4pt] \text{稳定条件（折减系数法）：}&\quad \sigma=\frac{F}{A}\le\varphi(\lambda)[\sigma] \end{aligned}$$

典型例题

例 11.1　两端铰支钢压杆的临界压力

已知 Q235 钢制压杆，截面为 $50\times 50\,\text{mm}$ 的正方形，长度 $l=2\,\text{m}$，两端铰支，弹性模量 $E=206\,\text{GPa}$，比例极限 $\sigma_p=200\,\text{MPa}$。求临界压力并判断是否适用欧拉公式。

解

截面惯性矩：

$$I=\frac{50^4}{12}=520833\,\text{mm}^4=5.208\times 10^{-7}\,\text{m}^4$$

两端铰支 $\mu=1$，欧拉公式给出：

$$\begin{aligned} F_{\text{cr}}&=\frac{\pi^2\times 206\times 10^9\times 5.208\times 10^{-7}}{2^2}\\ &=\frac{\pi^2\times 206\times 5.208\times 10^2}{4}\approx 2.646\times 10^5\,\text{N}=264.6\,\text{kN} \end{aligned}$$

临界应力：

$$\sigma_{\text{cr}}=\frac{F_{\text{cr}}}{A}=\frac{264.6\times 10^3}{0.05^2}=105.8\,\text{MPa}$$

柔度：

$$i=\sqrt{\frac{I}{A}}=\sqrt{\frac{5.208\times 10^{-7}}{0.0025}}=0.01443\,\text{m},\quad \lambda=\frac{\mu l}{i}=\frac{1\times 2}{0.01443}\approx 138.6$$

比例极限柔度：

$$\lambda_p=\pi\sqrt{\frac{E}{\sigma_p}}=\pi\sqrt{\frac{206\times 10^9}{200\times 10^6}}\approx 100.8$$

因 $\lambda>\lambda_p$，故欧拉公式适用。

例 11.2　一端固定一端自由压杆的稳定校核

圆截面钢压杆，直径 $d=40\,\text{mm}$，长度 $l=800\,\text{mm}$，一端固定，一端自由。材料为 Q235，$\sigma_p=200\,\text{MPa}$，$E=206\,\text{GPa}$，稳定安全系数 $n_{\text{st}}=3$。若杆顶承受轴向压力 $F=30\,\text{kN}$，试校核其稳定性。

解

一端固定一端自由，长度因数 $\mu=2$。

截面惯性矩：

$$I=\frac{\pi d^4}{64}=\frac{\pi\times(0.04)^4}{64}=1.257\times 10^{-7}\,\text{m}^4$$

惯性半径：

$$i=\frac{d}{4}=0.01\,\text{m},\quad\lambda=\frac{\mu l}{i}=\frac{2\times 0.8}{0.01}=160$$

因 $\lambda>\lambda_p\approx 100.8$，属大柔度杆，用欧拉公式：

$$\begin{aligned} F_{\text{cr}}&=\frac{\pi^2EI}{(\mu l)^2}=\frac{\pi^2\times 206\times 10^9\times 1.257\times 10^{-7}}{(1.6)^2}\\ &=\frac{\pi^2\times 206\times 1.257\times 10^2}{2.56}\approx 1.001\times 10^5\,\text{N}=100.1\,\text{kN} \end{aligned}$$

工作安全系数：

$$n=\frac{F_{\text{cr}}}{F}=\frac{100.1}{30}\approx 3.34>n_{\text{st}}=3$$

满足稳定性要求。

注

压杆稳定性设计时，应尽量使杆在两个形心主惯性平面内的柔度相等（等稳定性），以充分利用材料。例如采用工字形或空心截面时，应使 $I_{\max}$ 和 $I_{\min}$ 尽可能接近。