第七章 弯曲应力

7.1 纯弯曲与横力弯曲

纯弯曲

梁的横截面上只有弯矩 $M$ 而无剪力 $F_Q$ 的弯曲称为纯弯曲。在纯弯曲段，梁的纤维只发生伸长或缩短，没有横向剪切错动。

横力弯曲

梁的横截面上同时存在弯矩 $M$ 和剪力 $F_Q$ 的弯曲称为横力弯曲（或剪切弯曲）。此时截面上除正应力外，还存在剪应力。

纯弯曲的基本假设

1. 平面截面假设：梁的横截面在变形后仍保持为平面，且仍垂直于变形后的轴线。
2. 纵向纤维互不挤压假设：梁内各纵向纤维之间无正应力作用，只承受单向拉压。
3. 线弹性假设：材料服从胡克定律，应力与应变成正比。
4. 小变形假设：变形微小，可忽略轴线曲率的变化对截面位置的影响。

7.2 纯弯曲正应力公式

7.2.1 变形几何关系

取梁的纵向对称面为 $xy$ 平面，$x$ 轴沿梁轴线，$y$ 轴向下（或向上，视约定）。在纯弯曲下，梁的轴线弯曲成圆弧曲线，曲率半径为 $\rho$。距中性层距离为 $y$ 的纵向纤维的线应变为：

$$\varepsilon=\frac{y}{\rho}$$

其中 $\rho$ 为中性层的曲率半径。

7.2.2 物理关系（胡克定律）

由胡克定律 $\sigma=E\varepsilon$，得横截面上距中性轴为 $y$ 处的正应力：

$$\sigma=\frac{E}{\rho}y$$

即正应力沿截面高度呈线性分布。

7.2.3 静力关系

截面上正应力合成的内力矩等于弯矩 $M$。设中性轴过截面形心，且取 $z$ 轴为中性轴（垂直于纵向对称面），则：

$$\int_A y\,dA=0\quad\text{（自动满足，因中性轴过形心）}$$

$$\int_A y\sigma\,dA=M\quad\Rightarrow\quad\int_A\frac{E}{\rho}y^2\,dA=M$$

定义惯性矩 $I_z=\displaystyle\int_A y^2\,dA$，则得到曲率公式：

$$\frac{1}{\rho}=\frac{M}{EI_z}$$

代入物理关系，得到纯弯曲正应力公式：

$$\boxed{\displaystyle\sigma=\frac{My}{I_z}}$$

其中 $y$ 为所求应力点到中性轴的距离，正负号由弯矩方向和点的位置确定（通常拉为正、压为负）。

弯曲正应力公式

在纯弯曲条件下，梁横截面上任一点的正应力 $\sigma$ 与该点的弯矩 $M$ 成正比，与该点到中性轴的距离 $y$ 成正比，与截面的惯性矩 $I_z$ 成反比，即

$$\sigma=\frac{M}{I_z}y$$

最大正应力出现在距中性轴最远的点，即上下边缘，其值为

$$\sigma_{\max}=\frac{M}{W_z},\quad W_z=\frac{I_z}{y_{\max}}$$

其中 $W_z$ 称为抗弯截面系数（或截面模量），是衡量截面抗弯强度的重要几何参数。

7.2.4 常用截面的惯性矩与抗弯系数

$$\begin{aligned} \text{矩形截面（宽 }b\text{，高 }h\text{）：}&\quad I_z=\frac{bh^3}{12},\quad W_z=\frac{bh^2}{6}\\[4pt] \text{圆形截面（直径 }d\text{）：}&\quad I_z=\frac{\pi d^4}{64},\quad W_z=\frac{\pi d^3}{32}\\[4pt] \text{圆环形截面（外径 }D\text{，内径 }d\text{）：}&\quad I_z=\frac{\pi(D^4-d^4)}{64},\quad W_z=\frac{\pi(D^4-d^4)}{32D}\\[4pt] \text{工字形截面（近似）：}&\quad I_z\approx\frac{BH^3-bh^3}{12}\quad(\text{查表为准}) \end{aligned}$$

7.3 横力弯曲的正应力

在横力弯曲中，截面上同时存在弯矩和剪力。但工程实践表明，对于细长梁（跨高比 $L/h>5$），剪力对正应力的影响很小，可以忽略不计。因此，横力弯曲的正应力仍可用纯弯曲公式 $\sigma=My/I_z$ 近似计算，其误差在工程允许范围内。

横力弯曲正应力的适用条件

当梁的跨高比 $L/h\ge 5$ 时，可用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲时的正应力，计算精度足够。

7.4 弯曲剪应力

7.4.1 矩形截面梁的剪应力

设矩形截面宽 $b$、高 $h$，梁受横向力作用，截面上剪力为 $F_Q$。距中性轴为 $y$ 处的剪应力 $\tau$（方向平行于剪力）为：

$$\tau(y)=\frac{F_Q S_z^*(y)}{I_z b}$$

其中 $S_z^*(y)$ 为所求点以上（或以下）部分面积对中性轴的静矩。对于矩形截面：

$$S_z^*(y)=\frac{b}{2}\left(\frac{h^2}{4}-y^2\right)$$

代入得：

$$\tau(y)=\frac{3F_Q}{2bh}\left(1-\frac{4y^2}{h^2}\right)$$

最大剪应力出现在中性轴处（$y=0$）：

$$\tau_{\max}=\frac{3}{2}\frac{F_Q}{bh}=\frac{3F_Q}{2A}$$

$$\boxed{\displaystyle\tau_{\max}=\frac{3}{2}\frac{F_Q}{A}}\quad\text{（矩形截面梁的最大剪应力）}$$

注

若截面图形对某轴的静矩为 0，则该轴必为图形的形心轴。

7.4.2 其他常用截面的剪应力

• 工字形截面：剪应力主要由腹板承担，腹板上的剪应力近似均匀，$\tau\approx F_Q/(h_w\cdot t_w)$，其中 $h_w$ 为腹板高度，$t_w$ 为腹板厚度。
• 圆形截面：最大剪应力 $\tau_{\max}=\dfrac{4}{3}\dfrac{F_Q}{A}$。
• 圆环形截面：最大剪应力 $\tau_{\max}\approx 2\dfrac{F_Q}{A}$（薄壁环）。

弯曲剪应力分布规律

剪应力沿截面高度呈抛物线分布（矩形截面），在中性轴处最大，在上下边缘处为零。工字形截面的剪应力主要集中在腹板上，翼缘上的剪应力很小。

7.5 弯曲强度条件

7.5.1 正应力强度条件

为保证梁不因正应力过大而破坏，要求梁的最大工作正应力不超过材料的许用应力：

$$\sigma_{\max}=\frac{M_{\max}}{W_z}\le[\sigma]$$

其中 $[\sigma]$ 为材料的许用弯曲正应力（拉压应力相同时取相同值；若材料拉压许用应力不同，需分别校核拉应力和压应力）。

7.5.2 剪应力强度条件

对于短梁、厚腹板梁或组合截面梁，有时剪应力也可能起控制作用，需校核：

$$\tau_{\max}\le[\tau]$$

其中 $[\tau]$ 为材料的许用剪应力。

$$\begin{aligned} \text{正应力强度条件：}&\quad \sigma_{\max}=\frac{|M|_{\max}}{W_z}\le[\sigma]\\[4pt] \text{剪应力强度条件：}&\quad \tau_{\max}=\frac{F_{Q,\max}S_z^*}{I_zb}\le[\tau] \end{aligned}$$

7.5.3 强度校核的三类问题

1. 强度校核：已知梁的尺寸、载荷和材料，判断是否满足 $\sigma_{\max}\le[\sigma]$、$\tau_{\max}\le[\tau]$。
2. 截面设计：已知载荷和材料，根据强度条件确定所需的最小截面尺寸（如 $W_z$）。
3. 许用载荷确定：已知截面和材料，求梁所能承受的最大载荷。

7.6 提高弯曲强度的措施

提高弯曲强度的途径

1. 合理布置支座与载荷：减小梁的最大弯矩，例如将集中力分散、尽量靠近支座，或增加辅助支承。
2. 选择合理的截面形状：在截面面积相同的条件下，尽量增大抗弯截面系数 $W_z$，即采用“工形”、“箱形”、“空心”等截面，使材料远离中性轴。
3. 采用变截面梁：根据弯矩沿梁轴的分布，设计变截面梁（如鱼腹梁、阶梯轴），使各截面上的最大应力同时接近许用值，节约材料。
4. 合理利用材料的拉压性能：对于抗拉、抗压许用应力不同的材料（如铸铁、混凝土），将中性轴偏置于受拉或受压较弱的一侧，使两侧最大应力同时达到许用值（等强度梁）。