第六章 弯曲内力

6.1 弯曲的概念

梁

以弯曲形变为主的杆件习惯上称为梁。

对称弯曲

当作用于杆件上的所有外力都在纵向对称面内时，弯曲形变后的轴线将是位于这个对称面内的一条曲线，我们称这种弯曲为对称弯曲。

6.2 受弯杆件的简化

为了方便我们对弯曲杆件内力进行计算，我们对梁进行简化，得出计算简图。我们将重点讨论支座和载荷的简化。

6.2.1 支座的几种基本形式

• 固定铰支座： 只能限制杆件在垂直于轴线方向的位移，不能限制杆件绕支座的转动。提供的反力有两个分量，分别是竖向反力和水平反力。
• 可动铰支座： 只能限制杆件在垂直于轴线方向的位移，不能限制杆件绕支座的转动。提供的反力只有一个分量，即竖向反力。
• 固定端支座： 既能限制杆件的位移，又能限制杆件的转动。提供的反力有三个分量，分别是竖向反力、水平反力和弯矩。

　　

图 6.1　支座示意图：（a）固定铰支座　（b）可动铰支座　（c）固定端支座

载荷集度、剪力和弯矩间的关系

设梁上作用的分布载荷集度为 $q(x)$（以向上为正，或按特定约定，此处采用材料力学常用约定：$q$ 向下为正），则剪力 $F_Q(x)$、弯矩 $M(x)$ 与载荷集度 $q(x)$ 之间存在如下微分关系：

$$\begin{aligned} \frac{dF_Q(x)}{dx} &= -q(x)\quad\text{（若 }q\text{ 向上为正，则此处无负号，视具体约定而定）}\\ \frac{dM(x)}{dx} &= F_Q(x) \end{aligned}$$

联立上述两式，可得弯矩与载荷集度的二阶微分关系：

$$\frac{d^2M(x)}{dx^2}=-q(x)$$

对上述微分关系积分，可得到剪力和弯矩的积分关系：

$$F_Q(x_2)-F_Q(x_1)=-\int_{x_1}^{x_2}q(x)\,dx$$

$$M(x_2)-M(x_1)=\int_{x_1}^{x_2}F_Q(x)\,dx$$

根据以上关系，可以总结出绘制剪力图和弯矩图的便捷规律：

• 无荷载段（$q=0$）：$F_Q$ 为常数，剪力图水平；$M$ 为一次函数（斜直线）。
• 受均布荷载段（$q=$ 常数）：$F_Q$ 为一次函数（斜直线）；$M$ 为二次函数（抛物线）。当 $q>0$ 时，抛物线开口向下（凸形）；当 $q<0$ 时，抛物线开口向上（凹形）。
• 集中力作用处：剪力图 $F_Q$ 发生突变，突变值等于集中力的大小；弯矩图 $M$ 连续但斜率发生突变（形成尖点），且尖点方向与集中力方向一致。
• 集中力偶作用处：弯矩图 $M$ 发生突变，突变值等于集中力偶的大小；剪力图 $F_Q$ 不变。
• 极值条件：在剪力 $F_Q(x)=0$ 的截面处，弯矩 $M(x)$ 取得极值（极大值或极小值）。

6.3 平面刚架和曲杆的弯曲内力

平面刚架

由多根直杆在端点处通过刚性节点（刚结点）连接而成的结构称为平面刚架。刚结点能传递力和力矩，因此刚架在受力变形时，杆件之间的夹角保持不变。

与单根直梁不同，刚架中各杆件的横截面上一般同时存在三种内力分量：

• 轴力 $F_N$：沿杆件轴向，以拉伸为正。
• 剪力 $F_Q$：沿杆件截面切线方向。
• 弯矩 $M$：在杆件平面内使杆件发生弯曲的力偶。

刚架内力图的绘制要点：

1. 绘制刚架内力图时，通常需要分段对每根直杆单独分析，列出各杆的内力方程。
2. 弯矩图：规定画在杆件的受压侧（即弯曲变形后的凹入一侧），通常不标正负号。
3. 剪力图和轴力图：可以画在杆件的任意一侧，但必须标出正负号。
4. 刚结点处的校验：对刚结点取矩，所有杆端弯矩的代数和必须为零（结点平衡条件），这是校核刚架弯矩图是否正确的重要依据。

曲杆

轴线为曲线的杆件称为曲杆。曲杆的弯曲内力分析通常采用局部坐标系（极坐标或正交曲线坐标）。

在曲杆的任意截面上，建立以截面形心为原点的局部坐标系：

• 取截面外法线方向（或沿杆轴切线方向）为法向，与之垂直的方向为切向。
• 截面上的内力可分解为：
  • 轴力 $F_N$：沿截面外法线方向（或切线方向，视定义）。
  • 剪力 $F_Q$：沿截面切线方向（或法线方向）。
  • 弯矩 $M$：作用在曲杆平面内的力偶。

曲杆内力计算注意事项：

1. 使用截面法截开曲杆时，外力的分解需要依据截面处的切线方向和法线方向进行，不能简单地沿竖直或水平方向列平衡方程。
2. 弯矩的正负约定：通常约定使曲杆的曲率增大（即凹面受拉）的弯矩为正，反之使曲率减小的弯矩为负。
3. 曲杆的弯矩图一般画在受拉侧，其图形沿弧长变化。

曲杆微元平衡方程

对曲杆的微元段，沿弧长方向建立局部坐标系，设微元段的长度为 $ds$，则曲杆微元平衡方程为：

$$\begin{aligned} &\text{曲杆微元平衡方程（局部坐标）：}\\ &\frac{dF_N}{ds}-F_Q\cdot\frac{d\theta}{ds}+q_n=0\\ &\frac{dF_Q}{ds}+F_N\cdot\frac{d\theta}{ds}+q_t=0\\ &\frac{dM}{ds}=F_Q \end{aligned}$$

其中，$s$ 为弧长，$\theta$ 为曲率角，$q_n$ 和 $q_t$ 分别为沿法向和切向的分布载荷集度。