Fourier 变换

Fourier 级数与 Fourier 积分

定理 设周期为 $2l$ 的函数 $f(x)$ 在区间 $[-l,l]$ 上满足狄利克雷条件：

1. $f(x)$ 在 $[-l,l]$ 上分段连续；

2. $f(x)$ 在 $[-l,l]$ 上只有有限个极值点。

则 $f(x)$ 的 Fourier 级数

$$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right)$$

在任意点 $x$ 处收敛，且其和为

$$S(x)= \begin{cases} f(x), & x\text{ 为 }f(x)\text{ 的连续点},\\[4pt] \dfrac{f(x^-)+f(x^+)}{2}, & x\text{ 为 }f(x)\text{ 的间断点}. \end{cases}$$

其中 Fourier 系数为

$$\begin{aligned} a_n&=\dfrac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\dfrac{n\pi x}{l}\,\mathrm{d}x,\quad n=0,1,2,\dots,\\ b_n&=\dfrac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\dfrac{n\pi x}{l}\,\mathrm{d}x,\quad n=1,2,\dots. \end{aligned}$$

特别地，若周期为 $2\pi$（即 $l=\pi$），则系数简化为

$$\begin{aligned} a_n&=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,\mathrm{d}x,\quad n=0,1,2,\dots,\\ b_n&=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,\mathrm{d}x,\quad n=1,2,\dots. \end{aligned}$$

定理 若函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上满足下列条件：

1. $f(x)$ 在任意有限区间上分段单调且分段连续；

2. 广义积分 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|\,\mathrm{d}x$ 收敛。

则对任意 $x\in\mathbb R$，有

$$\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2} =\int_{0}^{+\infty}\left[A(\omega)\cos\omega x + B(\omega)\sin\omega x\right]\mathrm{d}\omega,$$

其中

$$A(\omega)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos\omega t\,\mathrm{d}t,\quad B(\omega)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\sin\omega t\,\mathrm{d}t.$$

等价复指数形式为

$$\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2} =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\omega t}\mathrm{d}t\right) e^{i\omega x}\mathrm{d}\omega.$$

特别地，在 $f(x)$ 的连续点处有

$$f(x)=\int_{0}^{+\infty}\big(A(\omega)\cos\omega x+B(\omega)\sin\omega x\big)\mathrm{d}\omega.$$

Fourier 变换的定义与基本性质

定理 若 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 绝对可积且具有连续导数 $f'(x)$，则对任意 $x\in\mathbb{R}$，有

$$\frac{1}{2\pi}\,\mathrm{p.v.}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\lambda)e^{i\lambda x}\,\mathrm{d}\lambda=f(x),$$

其中 $F(\lambda)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i\lambda x}\,\mathrm{d}x$。

定义 若 $f(x)$ 满足 Fourier 积分定理条件，则称

$$F(\lambda)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i\lambda x}\,\mathrm{d}x$$

为 $f(x)$ 的 Fourier 变换，记为 $F(\lambda)=\mathcal{F}[f(x)]$ 或 $\hat{f}(\lambda)$。 称

$$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\lambda)e^{i\lambda x}\,\mathrm{d}\lambda$$

为 $F(\lambda)$ 的 Fourier 逆变换，记为 $f(x)=\mathcal{F}^{-1}[F(\lambda)]$。 并称 $F(\lambda)$ 与 $f(x)$ 为 Fourier 变换对，记为 $F(\lambda)\leftrightarrow f(x)$。

定义

1. 若 $f(x)$ 为奇函数，则

$$F_s(\lambda)=\int_{0}^{+\infty}f(x)\sin\lambda x\,\mathrm{d}x$$

称为 Fourier 正弦变换；逆变换为

$$f(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{+\infty}F_s(\lambda)\sin\lambda x\,\mathrm{d}\lambda.$$

2. 若 $f(x)$ 为偶函数，则

$$F_c(\lambda)=\int_{0}^{+\infty}f(x)\cos\lambda x\,\mathrm{d}x$$

称为 Fourier 余弦变换；逆变换为

$$f(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{+\infty}F_c(\lambda)\cos\lambda x\,\mathrm{d}\lambda.$$

Dirac $\delta$ 函数

定义 称满足

$$\delta(t)= \begin{cases} 0, & t\neq 0,\\ \infty, & t=0, \end{cases} \quad \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)\,\mathrm{d}t=1$$

的函数为 Dirac 函数（单位脉冲函数）。其 Fourier 变换为

$$\mathcal{F}[\delta(x)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)e^{-i\lambda x}\,\mathrm{d}x=1.$$

定理

1. 筛选性质：$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\varphi(x)\,\mathrm{d}x=\varphi(0)$；

2. 导数性质：$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\delta^{(n)}(x)\varphi(x)\,\mathrm{d}x=(-1)^n\varphi^{(n)}(0)$；

3. 对称性：$\delta(-x)=\delta(x)$；

4. 伸缩性质：$\delta(ax)=\dfrac{1}{|a|}\delta(x)$；

5. 乘积性质：$x\delta(x)=0$；

6. 与阶跃函数关系：$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}H(x)=\delta(x)$，其中

$$H(x)= \begin{cases} 1, & x>0,\\ 0, & x<0 \end{cases}$$

为单位阶跃函数。

例 1：单位阶跃函数 求单位阶跃函数 $H(x)$ 的 Fourier 变换。 解： 由定义

$$\mathcal{F}[H(x)]=\int_{0}^{+\infty}e^{-i\lambda x}\mathrm{d}x =\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{0}^{+\infty}e^{-\varepsilon x}e^{-i\lambda x}\mathrm{d}x =\lim_{\varepsilon\to 0^+}\frac{1}{\varepsilon+i\lambda}.$$

利用广义函数极限

$$\lim_{\varepsilon\to 0^+}\frac{\varepsilon}{\lambda^2+\varepsilon^2}=\pi\delta(\lambda),\quad \lim_{\varepsilon\to 0^+}\frac{-\lambda}{\lambda^2+\varepsilon^2}= \frac{1}{i\lambda},$$

故

$$\mathcal{F}[H(x)]=\frac{1}{i\lambda}+\pi\delta(\lambda).$$

例 2：矩形脉冲（门函数） 设 $a>0$，矩形脉冲函数定义为

$$f(x)=\begin{cases} 1, & |x|\le a,\\ 0, & |x|>a. \end{cases}$$

求其 Fourier 变换。 解：

$$\begin{aligned} \mathcal{F}[f(x)]&=\int_{-a}^{a} e^{-i\lambda x}\mathrm{d}x =\left.\frac{e^{-i\lambda x}}{-i\lambda}\right|_{-a}^{a} =\frac{e^{-i\lambda a}-e^{i\lambda a}}{-i\lambda}\\[4pt] &=\frac{-2i\sin(\lambda a)}{-i\lambda} =2a\,\frac{\sin(\lambda a)}{\lambda a} =2a\operatorname{sinc}(\lambda a). \end{aligned}$$

例 3：单边指数衰减函数 设 $\beta>0$，求 $f(x)=e^{-\beta x}H(x)$ 的 Fourier 变换。 解：

$$\mathcal{F}[e^{-\beta x}H(x)]=\int_{0}^{+\infty} e^{-\beta x}e^{-i\lambda x}\mathrm{d}x =\int_{0}^{+\infty} e^{-(\beta+i\lambda)x}\mathrm{d}x =\frac{1}{\beta+i\lambda}.$$

例 4：正弦函数 求 $f(x)=\sin\lambda_0 x$ 的 Fourier 变换。 解： 由欧拉公式 $\sin\lambda_0 x=\dfrac{e^{i\lambda_0 x}-e^{-i\lambda_0 x}}{2i}$，及 $\mathcal{F}[e^{i\lambda_0 x}]=2\pi\delta(\lambda-\lambda_0)$，得

$$\begin{aligned} \mathcal{F}[\sin\lambda_0 x] &=\frac{1}{2i}\big[2\pi\delta(\lambda-\lambda_0)-2\pi\delta(\lambda+\lambda_0)\big]\\ &=i\pi\big[\delta(\lambda+\lambda_0)-\delta(\lambda-\lambda_0)\big]. \end{aligned}$$

例 5：符号函数 求符号函数 $\operatorname{sgn} x$ 的 Fourier 变换。 解： 符号函数可表示为 $\operatorname{sgn} x = 2H(x)-1$。利用线性性质及 $\mathcal{F}[H(x)]=\frac{1}{i\lambda}+\pi\delta(\lambda)$，$\mathcal{F}[1]=2\pi\delta(\lambda)$，有

$$\mathcal{F}[\operatorname{sgn} x]=2\left(\frac{1}{i\lambda}+\pi\delta(\lambda)\right)-2\pi\delta(\lambda)=\frac{2}{i\lambda}.$$

例 6：高斯函数 设 $a>0$，求高斯函数 $f(x)=e^{-ax^2}$ 的 Fourier 变换。 解： 配方法得

$$\begin{aligned} \mathcal{F}[e^{-ax^2}]&=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2} e^{-i\lambda x}\mathrm{d}x =e^{-\frac{\lambda^2}{4a}}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a\left(x+\frac{i\lambda}{2a}\right)^2}\mathrm{d}x =\sqrt{\frac{\pi}{a}}\, e^{-\frac{\lambda^2}{4a}}. \end{aligned}$$

例 7：双边指数函数 求 $f(x)=e^{-\beta|x|}\ (\beta>0)$ 的 Fourier 变换。 解：

$$\begin{aligned} \mathcal{F}[e^{-\beta|x|}] &=\int_{-\infty}^{0} e^{\beta x} e^{-i\lambda x}\mathrm{d}x + \int_{0}^{+\infty} e^{-\beta x} e^{-i\lambda x}\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{\beta-i\lambda} + \frac{1}{\beta+i\lambda} = \frac{2\beta}{\beta^2+\lambda^2}. \end{aligned}$$

例 8：三角脉冲 设 $a>0$，三角脉冲定义为

$$f(x)=\begin{cases} 1-\dfrac{|x|}{a}, & |x|\le a,\\ 0, & |x|>a. \end{cases}$$

求其 Fourier 变换。 解： 利用偶函数性质及积分，

$$\begin{aligned} \mathcal{F}[f(x)]&=2\int_{0}^{a} \left(1-\frac{x}{a}\right)\cos(\lambda x)\,\mathrm{d}x = a\left(\frac{\sin(\lambda a/2)}{\lambda a/2}\right)^2 = a\operatorname{sinc}^2\!\left(\frac{\lambda a}{2}\right). \end{aligned}$$

Fourier 变换的性质

定理 若 $a,b$ 为常数，且 $\mathcal{F}[f(x)]=F(\lambda)$，$\mathcal{F}[g(x)]=G(\lambda)$，则

$$\mathcal{F}[af(x)+bg(x)]=aF(\lambda)+bG(\lambda).$$

定理 设 $\mathcal{F}[f(x)]=F(\lambda)$，则

1. 时移性质：$\mathcal{F}[f(x\pm x_0)]=e^{\pm i\lambda x_0}F(\lambda)$。

2. 频移性质：$\mathcal{F}^{-1}[F(\lambda\pm\lambda_0)]=e^{\mp i\lambda_0 x}f(x)$。

例 9：位移性质应用 设 $g(x)=e^{-\beta x}H(x)\cos\lambda_0 x\ (\beta>0)$，求 $\mathcal{F}[g(x)]$。 解： 记 $f(x)=e^{-\beta x}H(x)$，已知 $\mathcal{F}[f(x)]=\dfrac{1}{\beta+i\lambda}$。由欧拉公式

$$g(x)=f(x)\frac{e^{i\lambda_0 x}+e^{-i\lambda_0 x}}{2},$$

利用频移性质，

$$\begin{aligned} \mathcal{F}[g(x)] &=\frac{1}{2}\mathcal{F}[f(x)e^{i\lambda_0 x}]+\frac{1}{2}\mathcal{F}[f(x)e^{-i\lambda_0 x}]\\ &=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\beta+i(\lambda-\lambda_0)}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\beta+i(\lambda+\lambda_0)}. \end{aligned}$$

定理 设 $\lim\limits_{|x|\to\infty}f(x)=0$，且 $\mathcal{F}[f(x)]=F(\lambda)$，则

$$\mathcal{F}[f'(x)]=i\lambda F(\lambda).$$

一般地，若 $\lim\limits_{|x|\to\infty}f^{(k)}(x)=0$，$k=0,1,\dots,n-1$，则

$$\mathcal{F}[f^{(n)}(x)]=(i\lambda)^n F(\lambda).$$

同时，若 $\lim\limits_{|\lambda|\to\infty}F(\lambda)=0$，则

$$\mathcal{F}[x^n f(x)] = i^n F^{(n)}(\lambda).$$

例 10：微分性质应用 设 $f(x)=xe^{-\beta|x|}\ (\beta>0)$，求 $\mathcal{F}[f(x)]$。 解： 先求 $f_0(x)=e^{-\beta|x|}$ 的变换（见例7）：$F_0(\lambda)=\dfrac{2\beta}{\beta^2+\lambda^2}$。 由 $\mathcal{F}[x f_0(x)] = i F_0'(\lambda)$，得

$$\mathcal{F}[x e^{-\beta|x|}]=i\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\left(\frac{2\beta}{\beta^2+\lambda^2}\right) =\frac{-4i\beta\lambda}{(\beta^2+\lambda^2)^2}.$$

定理 设 $g(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t$，且 $\lim\limits_{x\to\infty}g(x)=0$，则

$$\mathcal{F}[g(x)]=\frac{1}{i\lambda}\mathcal{F}[f(x)].$$

定理 设 $\mathcal{F}[f(x)]=F(\lambda)$，常数 $a\neq 0$，则

$$\mathcal{F}[f(ax)]=\frac{1}{|a|}F\left(\frac{\lambda}{a}\right).$$

定理 设 $\mathcal{F}[f(x)]=F(\lambda)$，则

$$\mathcal{F}[F(x)]=2\pi f(-\lambda).$$

若 $f(x)$ 为偶函数，则 $\mathcal{F}[F(x)]=2\pi f(\lambda)$。

卷积与相关定理

定义 函数 $f_1(x)$ 与 $f_2(x)$ 的卷积定义为

$$(f_1*f_2)(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(\tau)f_2(x-\tau)\,\mathrm{d}\tau.$$

定理 设 $\mathcal{F}[f_1(x)]=F_1(\lambda)$，$\mathcal{F}[f_2(x)]=F_2(\lambda)$，则

$$\mathcal{F}[f_1(x)*f_2(x)]=F_1(\lambda)F_2(\lambda).$$

同时，频域卷积定理为 $\mathcal{F}[f_1(x)f_2(x)]=\dfrac{1}{2\pi}F_1(\lambda)*F_2(\lambda)$。

定理 设 $F_1(\lambda)=\mathcal{F}[f_1(x)]$，$F_2(\lambda)=\mathcal{F}[f_2(x)]$，则

$$\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x)f_2(x)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F_1(\lambda)\overline{F_2(\lambda)}\,\mathrm{d}\lambda.$$

特别地，当 $f_1=f_2=f$ 时，得到 Parseval 恒等式：

$$\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|^2\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|F(\lambda)|^2\,\mathrm{d}\lambda.$$

例 11：Parseval 恒等式求积分 计算积分 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin^2 x}{x^2}\,\mathrm{d}x$。 解： 取 $f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$，其 Fourier 变换为

$$F(\lambda)=\begin{cases} \pi, & |\lambda|<1,\\ 0, & |\lambda|>1. \end{cases}$$

由 Parseval 恒等式，

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\mathrm{d}x =\frac{1}{2\pi}\int_{-1}^{1}\pi^2\,\mathrm{d}\lambda = \pi.$$

综合应用举例

例 12：求解积分微分方程 利用 Fourier 变换求解方程：

$$x'(t)-\int_{-\infty}^{t}x(\tau)\,\mathrm{d}\tau = e^{-|t|}.$$

解： 设 $X(\lambda)=\mathcal{F}[x(t)]$，对两边取变换：

$$i\lambda X(\lambda) - \frac{1}{i\lambda}X(\lambda) = \frac{2}{\lambda^2+1}.$$

整理得 $X(\lambda) = \dfrac{-2i\lambda}{(\lambda^2+1)^2}$。求逆变换得

$$x(t) = \frac{1}{2} t e^{-|t|}.$$