复变函数基础

实数域到复数域的扩充

从实数域 $\mathbb{R}$ 到复数域 $\mathbb{C}$ 的扩充，是为了使代数方程总有解、使开方、指数、三角函数等运算在更大范围内封闭。

扩充动机

实数域中，方程

$$x^2 + 1 = 0$$

无解。为使这类方程有解，引入虚数单位 $i$，满足

$$i^2 = -1.$$

扩充步骤

复数的定义 1. 引入符号 $i$，定义 $i^2 = -1$。

2. 定义复数为 $z = x + iy$，其中 $x,y\in\mathbb{R}$。

3. 规定复数的加法与乘法运算满足交换律、结合律、分配律。

4. 当 $y=0$ 时，$z = x$，即实数是复数的特例。

5. 当 $x=0$ 时，$z = iy$ 为纯虚数。

扩充后的封闭性

复数域的封闭性 扩充后的复数域 $\mathbb{C}$ 具有以下重要性质：

1. 复数域是代数闭域：任意次数的复系数多项式方程在 $\mathbb{C}$ 内必有根。

2. 加、减、乘、除（除数非零）运算封闭。

3. 开方、指数、对数、三角函数、反三角函数均可合理定义。

定义与性质

复变函数定义 复变函数是定义在复数集上的函数，记为

$$w = f(z),$$

其中 $z\in\mathbb{C}$ 为复自变量，$w\in\mathbb{C}$ 为复因变量。

将 $z=x+iy$，$w=u+iv$ 代入，则复变函数可表示为

$$f(z) = u(x,y) + i\,v(x,y),$$

即一个复变函数等价于两个二元实变函数的有序组合。

初等函数

指数函数

复指数函数定义为

$$e^z = e^{x+iy} = e^x(\cos y + i\sin y),$$

满足：

• 周期性：周期为 $2\pi i$；

• $e^{z_1+z_2}=e^{z_1}e^{z_2}$；

• $|e^z|=e^x>0$。

对数函数

复对数函数是指数函数的反函数，定义为多值函数：

$$\ln z = \ln|z| + i\left(\arg z + 2k\pi\right),\quad k\in\mathbb{Z}.$$

主值分支为

$$\mathrm{Ln}\,z = \ln|z| + i\mathrm{Arg}\,z.$$

三角函数

由欧拉公式定义复三角函数：

$$\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2},\quad \sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}.$$

性质：

• 周期仍为 $2\pi$；

• 在复平面上无界；

• 实三角函数公式全部形式保留。

反三角函数

以反正弦函数为例，由 $\sin w = z$ 解出：

$$\arcsin z = -i \ln\left(iz + \sqrt{1-z^2}\right).$$

一般幂函数 $z^b$

利用复对数统一定义：

$$z^b = e^{b\ln z}.$$