解析函数

复变函数的极限

设函数 $w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在 $z_0=x_0+iy_0$ 的去心邻域内有定义，$A=a+ib$ 为复常数。若对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当

$$0<|z-z_0|<\delta$$

时，有

$$|f(z)-A|<\varepsilon,$$

则称 $A$ 为 $f(z)$ 当 $z\to z_0$ 时的极限，记作

$$\lim_{z\to z_0}f(z)=A.$$

极限存在的充要条件

复变函数极限存在等价于其实部和虚部的极限同时存在：

$$\lim_{z\to z_0}f(z)=A\iff \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}u(x,y)=a,\quad \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}v(x,y)=b.$$

极限运算法则

若 $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=A$，$\lim\limits_{z\to z_0}g(z)=B$，则

1. $\lim\limits_{z\to z_0}[f(z)\pm g(z)]=A\pm B$;

2. $\lim\limits_{z\to z_0}[f(z)\cdot g(z)]=AB$;

3. $\lim\limits_{z\to z_0}\dfrac{f(z)}{g(z)}=\dfrac{A}{B}\ (B\neq 0)$.

复变函数的连续性

定义：复变函数的连续性 若 $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)$，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处连续。

连续的充要条件

$$f(z)\ \text{在}\ z_0\ \text{连续} \iff u(x,y),\ v(x,y)\ \text{在}\ (x_0,y_0)\ \text{处均连续}.$$

连续函数的运算性质

1. 连续函数的和、差、积、商（分母非零）仍连续；

2. 连续函数的复合函数仍连续；

3. 有界闭域上的连续函数必有界、可取到最值。

复变函数的导数

定义：复变函数的导数 设函数 $w=f(z)$ 在 $z_0$ 的邻域内有定义。若极限

$$\lim_{\Delta z\to 0}\frac{\Delta w}{\Delta z} =\lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$$

存在且有限，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处可导，该极限称为 $f(z)$ 在 $z_0$ 处的导数，记作

$$f'(z_0)=\left.\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}\right|_{z=z_0}.$$

可导的必要条件：连续

若 $f(z)$ 在 $z_0$ 可导，则 $f(z)$ 必在 $z_0$ 连续。

$$\lim_{\Delta z\to0}\big[f(z_0+\Delta z)-f(z_0)\big] =\lim_{\Delta z\to0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}\cdot\Delta z =f'(z_0)\cdot 0=0.$$

柯西—黎曼方程（C-R 方程）

设 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，$z=x+iy$。

定理：柯西—黎曼方程 (C-R 方程) $f(z)$ 在 $z$ 处可导的必要条件是 $u,v$ 可微且满足

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.$$

若 $u,v$ 一阶偏导连续且满足 C-R 方程，则 $f(z)$ 可导。

推导思路

令 $\Delta z=\Delta x+i\Delta y$，分别沿实轴、虚轴取极限，令两者相等即得 C-R 方程。

导数计算公式

$$f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x} =\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}.$$

解析函数

定义：解析函数 若 $f(z)$ 在 $z_0$ 及其某一邻域内处处可导，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处解析。

若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内每一点都解析，则称 $f(z)$ 是 $D$ 内的解析函数。

可导与解析的区别

• 可导：只要求在一点存在导数；

• 解析：要求在一点及其邻域内都可导，条件更强。

解析的充要条件

$f(z)=u+iv$ 在区域 $D$ 内解析 $\iff$

1. $u(x,y),\ v(x,y)$ 在 $D$ 内可微；

2. $u,v$ 在 $D$ 内处处满足 C-R 方程。

调和函数

定义：调和函数 若二元实函数 $u(x,y)$ 在区域 $D$ 内具有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程

$$\Delta u=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0,$$

则称 $u$ 为 $D$ 内的调和函数。

解析函数与调和函数的关系

定理：解析函数与调和函数 若 $f(z)=u+iv$ 在区域 $D$ 内解析，则 $u,v$ 都是 $D$ 内的调和函数。

推导： 由解析性知 C-R 方程成立：

$$u_x=v_y,\quad u_y=-v_x.$$

分别对两式求导：

$$u_{xx}=v_{yx},\quad u_{yy}=-v_{xy}.$$

由二阶偏导连续，$v_{yx}=v_{xy}$，故

$$u_{xx}+u_{yy}=0.$$

同理可证 $v_{xx}+v_{yy}=0$。

共轭调和函数

定义：共轭调和函数 设 $u,v$ 均为调和函数，且满足 C-R 方程，则称 $v$ 为 $u$ 的共轭调和函数。

若 $f(z)=u+iv$ 解析，则 $v$ 是 $u$ 的共轭调和函数。已知 $u$ 可通过 C-R 方程求出 $v$，从而构造解析函数。