共形映射 (Conformal Mapping)

几何意义

解析函数在导数不为零的点处具有两个重要的局部几何性质：

• 保角性：设曲线 $C_1,C_2$ 在点 $z_0$ 相交，夹角为 $\theta$。映射 $w=f(z)$ 将 $C_1,C_2$ 映为 $\Gamma_1,\Gamma_2$，它们在 $w_0=f(z_0)$ 处的夹角仍为 $\theta$，且旋转方向保持不变。其原因是

$$\operatorname{Arg} f'(z_0) = \lim_{\Delta z\to 0}\bigl[\operatorname{Arg}\Delta w - \operatorname{Arg}\Delta z\bigr],$$

即映射后的切向量相对于原切向量旋转了 $\operatorname{Arg} f'(z_0)$，该旋转角对所有经过 $z_0$ 的曲线均相同，故称旋转角不变性。

• 伸缩率不变性：微小线段在映射前后的长度比近似为常数 $|f'(z_0)|$，与线段方向无关。即

$$|f'(z_0)| = \lim_{\Delta z\to 0}\frac{|\Delta w|}{|\Delta z|}.$$

例 设 $w = f(z) = z^2 + 2z$，求在点 $z_0 = 1+i$ 处的旋转角与伸缩率。

解 $f'(z) = 2z + 2$，故 $f'(1+i) = 2(1+i)+2 = 4+2i$。 旋转角为 $\operatorname{Arg}(4+2i) = \arctan\frac{2}{4} = \arctan 0.5$。 伸缩率为 $|f'(1+i)| = \sqrt{4^2+2^2} = 2\sqrt{5}$。

共形映射的定义

定义 若 $w = f(z)$ 在区域 $D$ 内处处解析、且对任意 $z_0 \in D$ 有 $f'(z_0) \neq 0$，则称该映射在 $D$ 内是共形的（或称第一类共形映射，保持夹角大小和方向）。

扩充复平面上的共形性

针对扩充复平面 $\mathbb{C}^* = \mathbb{C}\cup\{\infty\}$，可利用倒数变换将无穷远点转化为有限点，从而定义共形性：

• 情形 I：$w = f(z)$ 将 $z = z_0 (\neq \infty)$ 映成 $w = \infty$。 令 $\zeta = \dfrac{1}{w}$。若 $\zeta = \dfrac{1}{f(z)}$ 在 $z = z_0$ 处共形，则称原映射在 $z = z_0$ 处共形。

• 情形 II：$w = f(z)$ 将 $z = \infty$ 映成 $w = w_0 (\neq \infty)$。 令 $\eta = \dfrac{1}{z}$。若 $w = f\!\left(\dfrac{1}{\eta}\right)$ 在 $\eta = 0$ 处共形，则称原映射在 $z = \infty$ 处共形。

• 情形 III：$w = f(z)$ 将 $z = \infty$ 映成 $w = \infty$。 令 $\eta = \dfrac{1}{z},\ \zeta = \dfrac{1}{w}$。若 $\zeta = \dfrac{1}{f(1/\eta)}$ 在 $\eta = 0$ 处共形，则称原映射在 $z = \infty$ 处共形。

定理 分式线性映射在扩充复平面上是一一的，且处处具有保角性。

分式线性映射

分式线性映射（Möbius 变换）的一般形式为

$$w = \frac{az+b}{cz+d}, \quad ad - bc \neq 0.$$

它可以分解为以下三种基本变换的复合：

1. 平移：$z \mapsto z + b$

2. 旋转与伸缩：$z \mapsto az$（$a \neq 0$）

3. 反演：$z \mapsto \dfrac{1}{z}$

公式分解：

$$w = \frac{a}{c} - \frac{ad-bc}{c} \cdot \frac{1}{cz+d} \quad (c \neq 0).$$

例 将分式线性映射 $w = \dfrac{2z+3}{z-1}$ 分解为基本变换的复合。

解

$$w = \frac{2z+3}{z-1} = 2 + \frac{5}{z-1}.$$

因此变换可分解为：$z \mapsto z-1$（平移），$\mapsto \dfrac{1}{z-1}$（反演），$\mapsto \dfrac{5}{z-1}$（伸缩），$\mapsto \dfrac{5}{z-1}+2$（平移）。

保圆性与对称点

对称点引理

引理 设 $C$ 是以 $z_0$ 为心、$R$ 为半径的圆周。两点 $z_1, z_2$ 关于 $C$ 对称的充要条件是：过 $z_1, z_2$ 的任意圆周（或直线）均与 $C$ 正交。

代数刻画：$z_1,z_2$ 关于圆周 $C: |z - z_0| = R$ 对称 $\iff$ $(z_1 - z_0)\overline{(z_2 - z_0)} = R^2$，或当 $C$ 为实轴（半径为无穷大的圆周）时，$z_2 = \overline{z_1}$。

定理 设 $w = f(z)$ 是分式线性映射，$C$ 为扩充复平面上的圆周。若 $z_1,z_2$ 关于 $C$ 对称，则 $w_1 = f(z_1),\ w_2 = f(z_2)$ 关于 $f(C)$ 也对称。

保圆性 (Circle-Preserving Property)

定义 若一个映射将扩充复平面上的圆周（包括直线，视为过 $\infty$ 的圆周）映为圆周，则称它具有保圆性。

以反演映射 $w = \dfrac{1}{z}$ 为例验证： 令 $z = x + iy$，$w = u + iv$，代入一般圆方程

$$a(x^2+y^2) + bx + cy + d = 0,$$

利用 $x = \frac{u}{u^2+v^2},\ y = \frac{-v}{u^2+v^2}$（由 $z = 1/w$ 得 $x+iy = \frac{u-iv}{u^2+v^2}$），代入后整理可得

$$d(u^2+v^2) + bu - cv + a = 0,$$

仍为圆方程（当 $d \neq 0$ 时为普通圆；$d=0$ 时为直线）。故保圆。

注 分式线性映射在扩充复平面上将圆周映成圆周，即具有保圆性。

交比与映射唯一性

交比 (Cross Ratio)

扩充复平面上四个相异点 $z_1,z_2,z_3,z_4$ 的交比定义为

$$(z_1, z_2, z_3, z_4) = \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} : \frac{z_1 - z_4}{z_2 - z_4} = \frac{(z_1 - z_3)(z_2 - z_4)}{(z_2 - z_3)(z_1 - z_4)}.$$

当某点为 $\infty$ 时，将分子分母中含有该点的因子按极限理解（如 $z_4 = \infty$ 时，$(z_1,z_2,z_3,\infty) = \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}$）。

注 分式线性映射保持交比不变，即具有保交比性：

$$(w_1,w_2,w_3,w_4) = (z_1,z_2,z_3,z_4).$$

唯一确定映射的条件

定理 给定 $z$ 平面上三个相异点 $z_1,z_2,z_3$ 与 $w$ 平面上三个相异点 $w_1,w_2,w_3$，则存在唯一的分式线性映射 $w = f(z)$ 使得

$$f(z_k) = w_k, \quad k=1,2,3.$$

由保交比性可直接写出该映射：

$$\frac{(w - w_1)(w_3 - w_2)}{(w - w_2)(w_3 - w_1)} = \frac{(z - z_1)(z_3 - z_2)}{(z - z_2)(z_3 - z_1)}.$$

例 求将点 $z=0,1,\infty$ 分别映为 $w = -1, -i, 1$ 的分式线性映射。

解 设对应关系为 $z_1=0\to w_1=-1,\ z_2=1\to w_2=-i,\ z_3=\infty\to w_3=1$。 利用三点式：

$$\frac{w - w_1}{w - w_2} \cdot \frac{w_3 - w_2}{w_3 - w_1} = \frac{z - z_1}{z - z_2} \cdot \frac{z_3 - z_2}{z_3 - z_1}.$$

代入得

$$\frac{w+1}{w+ i} \cdot \frac{1+ i}{2} = \frac{z-0}{z-1} \cdot 1 = \frac{z}{z-1}.$$

解得

$$w = \frac{(i-1)z + 2}{(1-3i)z + (i-1)}.$$

三种典型映射类型及其推导

分式线性映射的核心在于利用边界对应原理与对称点原理确定参数。

类型 I：上半平面 $\operatorname{Im}(z) > 0 \to$ 单位圆盘 $|w| < 1$

推导步骤：

1. 设上半平面内一点 $\lambda$（$\operatorname{Im}(\lambda) > 0$）映为圆心 $w=0$。

2. 由对称点原理，$\lambda$ 关于实轴的对称点 $\bar{\lambda}$ 应映为 $w=\infty$。

3. 映射形式为 $\displaystyle w = k \,\frac{z - \lambda}{z - \bar{\lambda}}$。

4. 实轴映为单位圆周 $|w|=1$，取 $z$ 为实数时 $|w| = |k| = 1$，故 $k = e^{i\theta}$。

最终映射公式：

$$w = e^{i\theta} \frac{z - \lambda}{z - \bar{\lambda}}, \quad \theta\in\mathbb{R},\ \operatorname{Im}(\lambda) > 0.$$

类型 II：单位圆盘 $|z| < 1 \to$ 单位圆盘 $|w| < 1$

推导步骤：

1. 设圆盘内一点 $\alpha$（$|\alpha| < 1$）映为 $w=0$。

2. 对称点 $1/\bar{\alpha}$ 映为 $w=\infty$。

3. 映射形式为 $\displaystyle w = k' \,\frac{z - \alpha}{1 - \bar{\alpha}z}$。

4. 单位圆周 $|z|=1$ 映为 $|w|=1$，可得 $|k'|=1$，即 $k' = e^{i\varphi}$。

最终映射公式：

$$w = e^{i\varphi} \frac{z - \alpha}{1 - \bar{\alpha}z}, \quad \varphi\in\mathbb{R},\ |\alpha| < 1.$$

类型 III：上半平面 $\operatorname{Im}(z) > 0 \to$ 上半平面 $\operatorname{Im}(w) > 0$

推导步骤：

1. 系数 $a,b,c,d$ 均取实数（可相差一个实常数因子）。

2. 虚部满足：

$$\operatorname{Im}(w) = \frac{1}{2i}(w - \bar{w}) = \frac{(ad-bc)\operatorname{Im}(z)}{|cz+d|^2}.$$

3. 为保持上、下半平面，需要分子分母符号一致，故要求 $ad - bc > 0$（保定向）。

最终映射公式：

$$w = \frac{az + b}{cz + d}, \quad a,b,c,d\in\mathbb{R},\ ad-bc > 0.$$

例 求将上半平面映为单位圆盘，且使 $\lambda = i$ 映为 $w=0$，并满足 $w(2i) > 0$ 的分式线性映射。

解 由类型 I 公式，$\lambda = i$，$\bar{\lambda} = -i$，故

$$w = e^{i\theta} \frac{z - i}{z + i}.$$

由附加条件 $w(2i) > 0$：

$$w(2i) = e^{i\theta} \frac{2i - i}{2i + i} = e^{i\theta} \frac{i}{3i} = \frac{1}{3} e^{i\theta} > 0,$$

故 $e^{i\theta} = 1$（取 $\theta = 0$）。所求映射为

$$w = \frac{z - i}{z + i}.$$

例 求将上半单位圆盘 $D = \{z: |z|<1,\ \operatorname{Im}z > 0\}$ 共形映射为上半平面的映射。

解 区域边界由上半圆周和实轴上的线段 $[-1,1]$ 组成。 先用分式线性映射将两个边界“拉直”。考虑映射 $w_1 = \frac{z+1}{z-1}$。它把实轴映为实轴，把圆周 $|z|=1$ 映为虚轴。取 $z=0$ 得 $w_1=-1$，取 $z=i$ 得 $w_1=-i$，故 $w_1$ 将上半单位圆盘映为第三象限。调正方向： 用 $w_2 = -w_1 = \frac{1+z}{1-z}$，则 $z=0\mapsto 1$，$z=i\mapsto i$，将上半单位圆盘映为第一象限。 再平方 $w = w_2^2 = \left(\frac{1+z}{1-z}\right)^2$，即把第一象限映为上半平面。 故所求映射为

$$w = \left(\frac{1+z}{1-z}\right)^2.$$

初等函数的共形性

幂函数

幂函数 $w = z^n \ (n \ge 2)$：

• 导数：$\dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z} = nz^{n-1}$。

• 共形性：除 $z=0$ 外处处共形；$z=0$ 处角度放大 $n$ 倍。

• 角形域变换：将角域 $0 < \arg z < \alpha$（$\alpha \le 2\pi/n$）一一地共形映为角域 $0 < \arg w < n\alpha$。

根式函数

根式函数 $w = \sqrt[n]{z}$（取定单值分支）：

• 是幂函数的逆映射，在除原点外的区域共形。

• 将角域 $0 < \arg z < n\alpha$ 共形映为 $0 < \arg w < \alpha$。

• 常用于“展平”角度过大的角域。

指数函数

指数函数 $w=e^z$：

• 导数：$\dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}=e^z\neq0$，复平面内处处共形。

• 几何意义：将水平带形域 $0<\operatorname{Im} z < 2\pi$ 共形映射为沿正实轴割开的复平面（去掉 $0$ 到 $+\infty$ 的射线）。一般地，带形域 $y_0 < \operatorname{Im}z < y_0 + 2\pi$ 映为去掉从原点出发的一条射线的复平面。

• 将水平直线映为从原点出发的射线，将竖直直线映为以原点为心的圆周。

对数函数

对数函数 $w = \Ln z$（取主值支 $w = \ln|z| + i\Arg z,\ -\pi < \Arg z \le \pi$）：

• 是指数函数的逆映射，在去掉原点和负实轴的区域上解析且导数 $w' = 1/z \neq 0$，故共形。

• 将上述割开的复平面共形映为水平带形域 $-\pi < \operatorname{Im}w < \pi$。

• 常用来把角域或扇形域变为带形域。

例 求将带形域 $0 < \operatorname{Im} z < \pi$ 共形映射为单位圆盘 $|w|<1$ 的映射。

解 分两步：

1. 先用指数函数 $w_1 = e^z$。当 $z = x+iy,\ 0<y<\pi$ 时，$w_1 = e^x e^{iy}$，幅角在 $(0,\pi)$，模长取遍 $(0,\infty)$，故 $w_1$ 将带形域映为上半平面 $\operatorname{Im} w_1 > 0$。

2. 再将上半平面映为单位圆盘，可取典型映射 $w = \dfrac{w_1 - i}{w_1 + i}$（将 $i$ 映为圆心）。

复合得

$$w = \frac{e^z - i}{e^z + i}.$$

例 求将扇形域 $D = \{z: |z| < 1,\ 0 < \arg z < \pi/3\}$ 共形映射为上半平面的映射。

解

1. 先用幂函数 $w_1 = z^3$，将扇形域（张角 $\pi/3$）展平为上半单位圆盘：$|w_1|<1,\ \operatorname{Im} w_1 > 0$。

2. 再用上半单位圆盘到上半平面的映射：$w = \left(\dfrac{1+w_1}{1-w_1}\right)^2$。

复合得

$$w = \left(\frac{1+z^3}{1-z^3}\right)^2.$$