第三章 假设检验

1.假设检验的基本概念和思想

（一）原假设与备择假设

1. 原假设（Null Hypothesis: $H_0$）

原假设是关于总体参数的一个没有效应、没有差异或没有关联的声明。

• 基本观点: 它代表了现状或没有变化的立场。在进行假设检验时，我们假设原假设是正确的，然后看样本数据是否提供了足够强的证据来推翻它。
• 符号: 通常包含等号 ($=$, $\ge$, $\le$)。
• 例子:
  • $\mu = 100$: 总体平均值是100。
  • $\mu_1 = \mu_2$: 两组总体的平均值没有差异。
  • $\rho = 0$: 两个变量之间没有相关性。

2. 备择假设（Alternative Hypothesis: $H_A$ 或 $H_1$）

备择假设是研究者希望找到证据支持的声明，它与原假设对立。它通常声明存在效应、存在差异或存在关联。

• 基本观点: 如果我们有足够的统计证据来拒绝原假设，那么我们将接受备择假设。
• 形式: 备择假设决定了检验的方向性（单侧或双侧）：
  • 双侧检验 (Two-tailed): 声明存在差异，但不指定方向。
    • 例子: $\mu \neq 100$ (平均值不等于 100)。
  • 单侧检验 (One-tailed: 右侧): 声明大于某个值。
    • 例子: $\mu > 100$ (平均值大于 100)。
  • 单侧检验 (One-tailed: 左侧): 声明小于某个值。
    • 例子: $\mu < 100$ (平均值小于 100)。

(二)检验法则与拒绝域

样本观测值的全体组成样本空间$\bf{S}$,把$\bf{S}$分成两个互不相交的子集$\bf{W}$和$\bf{W}^*$，即

$$\bf{S}=\bf{W}\bigcup \bf{W}^*,\bf{W}\bigcap \bf{W}^*=\emptyset$$

假设当样本观测值$(x^1,x^2,\dots,x^n)\in \bf{W}$时，我们就拒绝$\bf{H}_0$;当样本观测值$(x^1,x^2,\dots,x^n)\in \bf{W}^*$时，我们就接受$\bf{H}_0$. 拒绝域或临界域即为$\bf{W}\subset \bf{S}$ 这种方法称为检验法则。

（三）检验的两种错误

$\text{第一类错误(弃真错误):}$

• 定义: 当原假设 $H_0$ 事实上是正确的，但我们却根据样本数据拒绝了 $H_0$。
• 概率: 犯第一类错误的概率用 $\alpha$ 表示，即显著性水平 (Significance Level)。

$$P(\text{Type I Error}) = P(\text{拒绝 } H_0 \vert H_0 \text{ 为真}) = \alpha$$

• 意义: 错误地断定存在效应、差异或关联，而实际上它们并不存在（“错报” 或 “伪阳性”）。
• 控制: $\alpha$ 是研究者在检验开始前预先设定的（例如 $\alpha = 0.05$ 或 $0.01$），因此第一类错误的概率是直接可控的。**

$\text{第二类错误(取伪错误):}$

• 定义（取伪错误）: 当原假设 $H_0$ 事实上是错误的（即备择假设 $H_A$ 为真），但我们却根据样本数据不拒绝 $H_0$。
• 概率: 犯第二类错误的概率用 $\beta$ 表示。

$$P(\text{Type II Error}) = P(\text{不拒绝 } H_0 \vert H_0 \text{ 为假}) = \beta$$

• 意义: 错误地断定没有发现效应或差异，而实际上它们是存在的（“漏报” 或 “伪阴性”）。
• 控制: $\beta$ 的计算通常较为复杂，且依赖于 $H_A$ 成立的真实参数值。我们通常通过统计功效 (Power) 来衡量减少第二类错误的程度。

$\text{显著性检验的基本步骤}$

• (1)根据实际问题作出假设$\bf{H}_0$与$\bf{H}_1$;
• (2)构造统计量，在$\bf{H}_0$真时其分布已知；
• 给定显著性水平$\alpha$的值，参考$\bf{H}_1$,令

$$P(\text{拒绝 } H_0 \vert H_0 \text{ 为真}) = \alpha$$

求出拒绝域$\bf{W}$;

• （4）计算统计量的值，若$\text{统计量}\in \bf{W}$，则拒绝$\bf{H}_0$,否则接受$\bf{H}_0$

单个正态总体的假设检验

1.单个正态总体均值的假设检验

1. $\sigma^2$ 已知的情形 --- U 检验

对于假设 $H_0: \mu = \mu_0; \quad H_1: \mu \neq \mu_0$，构造 $H_0$ 真时：

$$U = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1) \text{}$$

由 $P\{\vert U\vert \ge U(\frac{\alpha}{2})\} = \alpha$，可得拒绝域为 $\vert U\vert \ge U(\frac{\alpha}{2})$。

2. $\sigma^2$ 未知的情形 --- t 检验

$$H_0: \mu = \mu_0; \quad H_1: \mu \neq \mu_0 \text{}$$

$H_0$ 真时：

$$T = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1) \text{}$$

由 $P\{\vert T\vert \ge t_{\alpha/2}(n-1)\} = \alpha$，得水平为 $\alpha$ 的拒绝域为 $\vert T\vert \ge t_{\alpha/2}(n-1)$。

单个总体方差的假设检验

给定检验水平 $\alpha$，由观测值 $x_1, \dots, x_n$ 检验假设：

$$H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2; \quad H_1: \sigma^2 \neq \sigma_0^2 \text{}$$

假设 $\mu$ 未知 --- $\chi^2$ 检验法

$$H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2; \quad H_1: \sigma^2 \neq \sigma_0^2$$

$H_0$ 下：

$$\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1) \text{}$$

得水平为 $\alpha$ 的拒绝域为：

$$\chi^2 \le \chi^2_{1-\alpha/2}(n-1) \text{ 或 } \chi^2 \ge \chi^2_{\alpha/2}(n-1) \text{}$$

双正态总体均值与方差比的假设检验

设 $X_1, \dots, X_{n_1} \sim N(\mu_1, \sigma_1^2); \quad Y_1, \dots, Y_{n_2} \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$，两样本独立，给定检验水平 $\alpha$，由观测值 $x_1, \dots, x_{n_1}; \quad y_1, \dots, y_{n_2}$ 检验假设。

一、均值差的假设检验

检验假设 $H_0: \mu_1 = \mu_2; \quad H_1: \mu_1 \neq \mu_2$。 假定 $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2$ --- t 检验法 $H_0$ 下：

$$T = \frac{\overline{X} - \overline{Y}}{S_w \sqrt{1/n_1 + 1/n_2}} \sim t(n_1 + n_2 - 2) \text{}$$

其中 $S_w$ 是联合样本方差的平方根（未在图中给出具体公式）。 由 $P\{\vert T\vert \ge t_{\alpha/2}(n_1 + n_2 - 2)\} = \alpha$，即得拒绝域 $\vert T\vert \ge t_{\alpha/2}(n_1 + n_2 - 2)$。

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二、方差比的假设检验

检验假设 $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2; \quad H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$。 假定 $\mu_1, \mu_2$ 未知 --- F 检验法 $H_0$ 真时：

$$F = \frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(n_1 - 1, n_2 - 1) \text{}$$

由 $P\{F \le F_{1-\alpha/2}(n_1-1, n_2-1) \text{ 或 } F \ge F_{\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)\} = \alpha$ 得拒绝域：

$$F \le F_{1-\alpha/2}(n_1-1, n_2-1) \text{ 或 } F \ge F_{\alpha/2}(n_1-1, n_2-1) \text{}$$

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