第二章 一阶微分方程的初等积分法

第二章 一阶微分方程的初等积分法

来源：课堂讲义《第二章 一阶微分方程的初等解法 2.1/2.2/2.3/2.4》 笔记由课堂 PDF 整理，公式按数学含义重建；模糊处标 [?] 待校对。

§2.1 变量分离方程与变量变换

一、变量分离方程

定义 1：形如

$$\frac{dy}{dx} = f(x)\varphi(y) \tag{2.1}$$

的方程称为变量分离方程，其中 $f(x), \varphi(y)$ 分别是 $x, y$ 的连续函数。

求解方法

当 $\varphi(y) \neq 0$ 时，将 (2.1) 写成

$$\frac{dy}{\varphi(y)} = f(x)\,dx \tag{2.2}$$

两边积分得

$$\int \frac{dy}{\varphi(y)} = \int f(x)\,dx + c$$

由 (2.2) 所确定的函数 $\Phi(x, y) = c$ 即为 (2.1) 的解。

注：若存在 $y_0$ 使 $\varphi(y_0) = 0$，则 $y = y_0$ 也是方程的解，但它不包含在通解中，必须予以补上。

例 1：求微分方程 $\dfrac{dy}{dx} = y(10 - y)$ 的所有解。

解：方程两边同除以 $y(10-y)$，分离变量得

$$\frac{dy}{y(10-y)} = dx$$

积分得

$$\ln\left\vert \frac{y}{10-y}\right\vert = x + c_1$$

从上式中解出 $y$（将常数记为 $c \neq 0$）：

$$y = \frac{10}{1 + ce^{-x}}$$

此外由 $\varphi(y) = y(10-y) = 0$ 得 $y = 0$ 和 $y = 10$ 也是方程的解。

故方程的所有解为：$y = \dfrac{10}{1+ce^{-x}}$（$c$ 为任常数）以及 $y = 0$、$y = 10$。

例 2：求微分方程 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2\sqrt{3}\,y}{x}$ 的通解 [?]。

解：分离变量后得 $\dfrac{dy}{y} = \dfrac{2\sqrt{3}}{x}\,dx$，两边积分得

$$2\sqrt{3}\ln\vert y\vert = \ln\vert x\vert + c_1$$

整理后得通解 $y^2 = cx$（$c$ 为任常数）[?]。

校对点

例 2 原文公式较乱（"$2\sqrt{3}$" 与 "$\ln 2$" 混排），此处按常规解读为 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2\sqrt{3}\,y}{x}$；另有解 $y = 0$ 未包含在通解中，应补上。

例 3：求微分方程 $\dfrac{dy}{dx} = p(x)y$ 的通解，其中 $p(x)$ 是 $x$ 的连续函数。

解：分离变量 $\dfrac{dy}{y} = p(x)\,dx$，两边积分 $\ln\vert y\vert = \int p(x)\,dx + c_1$，由对数定义

$$y = e^{c_1}e^{\int p(x)\,dx} = ce^{\int p(x)\,dx}$$

允许 $c = 0$ 时也包括 $y = 0$，故方程的通解为

$$y = ce^{\int p(x)\,dx} \quad (\text{$c$ 为任常数})$$

例 4：求初值问题 $\begin{cases} \dfrac{dy}{dx} = y^2\cos x \\ y(0) = 1 \end{cases}$ 的特解。

解：先求通解。当 $y \neq 0$ 时分离变量 $\dfrac{dy}{y^2} = \cos x\,dx$，两边积分得 $-\dfrac{1}{y} = \sin x + c$，通解为

$$y = -\frac{1}{\sin x + c}$$

此外 $y = 0$ 也是方程的解。代入初始条件 $y(0) = 1$ 得 $c = -1$，故所求特解为

$$y = \frac{1}{1 - \sin x}$$

二、可化为变量分离方程的类型

(I) 齐次方程

形如

$$\frac{dy}{dx} = g\left(\frac{y}{x}\right) \tag{2.5}$$

的方程称为齐次方程，其中 $g(u)$ 是 $u$ 的连续函数。

求解方法：作变量代换 $u = \dfrac{y}{x}$（即 $y = xu$），由 $y' = u + x\dfrac{du}{dx}$ 得

$$x\frac{du}{dx} = g(u) - u$$

这是关于 $u$ 的变量分离方程，解出后再变量还原。

例 4：求解方程 $x\dfrac{dy}{dx} = y + \sqrt{xy}$（$x < 0$）。

解：方程变形为 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x} + \sqrt{\dfrac{y}{x}}$，这是齐次方程。令 $u = \dfrac{y}{x}$，代入得 $x\dfrac{du}{dx} = \sqrt{u}$，分离变量 $\dfrac{du}{\sqrt{u}} = \dfrac{dx}{x}$，积分得

$$2\sqrt{u} = \ln\vert x\vert + c$$

变量还原得原方程的通解 $2\sqrt{\dfrac{y}{x}} = \ln\vert x\vert + c$（$x<0$）[?]。

例 6：求初值问题 $\begin{cases} (y^2 + x^2)\,dx + xy\,dy = 0 \\ y(1) = 0 \end{cases}$ 的解。

解：方程变形为 $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x^2+y^2}{xy} = -\dfrac{1+(y/x)^2}{y/x}$，这是齐次方程。令 $u = \dfrac{y}{x}$，代入得 $x\dfrac{du}{dx} = -\dfrac{1+u^2}{u} - u = -\dfrac{1+2u^2}{u}$[?]，分离变量并积分：

$$\int \frac{u}{1+u^2}\,du = -\int \frac{dx}{x}$$

得 $\ln\sqrt{1+u^2} = -\ln\vert x\vert + c$，整理得 $\sqrt{x^2+y^2} = c$[?]。由 $y(1)=0$ 定出 $c=1$，故初值问题的解为 $x^2+y^2=1$（$x>0$）[?]。

校对点

例 6 讲义原文中间步骤（$\ln\vert u\vert +\ln\sqrt{1+u^2}$ 等）提取较乱，最终结论为 $\sqrt{x^2+y^2}=cx$，由 $y(1)=0$ 得 $c=1$，即 $x^2+y^2=1$，请对照原讲义核实。

(II) 形如 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}$ 的方程

其中 $a_i, b_i, c_i$ 均为常数，可经过变量变换化为变量分离方程。分三种情况：

情形 1：$c_1 = c_2 = 0$，方程为齐次方程

$$\frac{dy}{dx} = g\left(\frac{y}{x}\right)$$

由 (I) 可化为变量分离方程。

情形 2：$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = k$（即 $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = 0$），令 $u = a_2 x + b_2 y$，则方程化为变量分离方程。

情形 3：$c_1, c_2$ 不同时为零，且 $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \neq 0$。解方程组

$$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1 = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2 = 0 \end{cases}$$

得交点 $(\alpha, \beta) \neq (0,0)$，作坐标变换

$$X = x - \alpha, \quad Y = y - \beta$$

则方程化为 $\dfrac{dY}{dX} = g\left(\dfrac{Y}{X}\right)$ 的齐次方程，进而求解。

求解步骤：

1. 解方程组得 $x = \alpha, y = \beta$
2. 作变换 $X = x - \alpha, Y = y - \beta$，方程化为 $\dfrac{dY}{dX} = g\left(\dfrac{Y}{X}\right)$
3. 再经变换 $u = \dfrac{Y}{X}$ 化为变量分离方程
4. 求解
5. 变量还原

例 7：求微分方程 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x - y + 1}{x + y - 3}$ 的通解。

解：解方程组 $\begin{cases} x - y + 1 = 0 \\ x + y - 3 = 0 \end{cases}$ 得 $x = 1, y = 2$。令 $X = x - 1, Y = y - 2$，代入得

$$\frac{dY}{dX} = \frac{X - Y}{X + Y}$$

令 $u = \dfrac{Y}{X}$，分离变量 $\dfrac{1+u^2}{1-2u-u^2}\,du = \dfrac{dX}{X}$[?]，积分得

$$\arctan u - \frac{1}{2}\ln(1-2u-u^2) = \ln\vert X\vert + c$$

变量还原并整理得原方程的通解：

$$\arctan\frac{y-2}{x-1} - \frac{1}{2}\ln\left(1 - 2\frac{y-2}{x-1} - \frac{(y-2)^2}{(x-1)^2}\right) = \ln\vert x-1\vert + c$$

校对点

例 7 讲义原文为 "$\frac{1}{2}\arctan\frac{2u}{1-u^2} + \ln(1+u^2) = \ln X + c$" 形式，与上述写法等价但细节请对照原讲义。

更一般的类型（可经适当变量变换化为变量分离方程）：

• $\dfrac{dy}{dx} = f(ax + by + c)$ —— 令 $u = ax+by+c$
• $x\dfrac{dy}{dx} = f(xy)$ —— 令 $u = xy$
• $x\dfrac{dy}{dx} = f\left(\dfrac{y}{x^2}\right)$ —— 令 $u = \dfrac{y}{x^2}$
• $M(x,y)(x\,dx + y\,dy) + N(x,y)(x\,dy - y\,dx) = 0$，其中 $M, N$ 为齐次函数（次数可以不相同）

例 8：求微分方程 $(xy + y^2)\,dx + (x^2 - xy)\,dy = 0$ 的通解 [?]。

解：令 $u = xy$，则 $du = x\,dy + y\,dx$，代入方程并整理得

$$(u^2 - u)\,dx + x^2\,du = 0$$

分离变量 $\dfrac{dx}{x} = \dfrac{du}{u - u^2}$，积分得 $\ln\vert x\vert = \ln\left\vert \dfrac{u}{u-1}\right\vert + c$，变量还原得通解

$$xy - y = cx$$

校对点

例 8 讲义最终结论为 $\ln\vert xy\vert - xy = c$（原文 "$\ln c = xy - \ln xy$"），与这里得到的 $xy - y = cx$ 不一致，请对照原讲义核实系数。

作业（2.1）：p25：1.（2、6、7）；2.（1、4、6）；4；5；7

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§2.2 线性方程与常数变易法

一、一阶线性微分方程

一阶线性微分方程在 $a(x) \neq 0$ 的区间上可写成

$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \tag{1}$$

其中 $P(x), Q(x)$ 在考虑的区间上是连续函数。

• 若 $Q(x) \equiv 0$，得 $y' + P(x)y = 0$，称为一阶齐次线性方程
• 若 $Q(x) \not\equiv 0$，称为一阶非齐次线性方程

常数变易法

步骤：

1. 解对应的齐次方程 $y' + P(x)y = 0$，分离变量得

$$y = ce^{-\int P(x)\,dx}$$

2. 常数变易：将常数 $c$ 变为待定函数 $c(x)$，令

$$y = c(x)e^{-\int P(x)\,dx}$$

3. 代入原方程 (1)，得 $c'(x) = Q(x)e^{\int P(x)\,dx}$，积分得

$$c(x) = \int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx + \tilde{c}$$

故 (1) 的通解为

$$y = e^{-\int P(x)\,dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx + \tilde{c}\right) \tag{3}$$

注：求 (1) 的通解可直接用公式 (3)。

例 1：求方程 $(1+x)\dfrac{dy}{dx} - ny = e^x(1+x)^{n+1}$ 的通解（$n$ 为常数）。

解：改写为 $\dfrac{dy}{dx} - \dfrac{n}{1+x}y = e^x(1+x)^n$。齐次方程通解 $y = c(1+x)^n$。常数变易，令 $y = c(x)(1+x)^n$，代入得 $c'(x) = e^x$，积分得 $c(x) = e^x + \tilde{c}$，故通解为

$$y = (1+x)^n(e^x + \tilde{c})$$

例 2：求方程 $\dfrac{dy}{dx} = x^2 - \dfrac{y}{x}$ 的通解 [?]。

解：改写为 $\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{1}{x}y = x^2$，用公式 (3)（$P = \dfrac{1}{x}, Q = x^2$）：

$$y = e^{-\ln x}\left(\int x^2 e^{\ln x}\,dx + c\right) = \frac{1}{x}\left(\frac{x^4}{4} + c\right)$$

例 3：求初值问题 $\begin{cases} \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{4y}{x^2} + x^2 + 1 \\ y(1) = 1 \end{cases}$ 的解 [?]。

解：原方程即 $y' - \dfrac{4}{x^2}y = x^2+1$，用公式 (3) 得通解

$$y = e^{4/x}\left(\int (x^2+1)e^{-4/x}\,dx + \tilde{c}\right)$$

代入 $y(1) = 1$ 定出常数，得初值问题的解[?]。

校对点

例 2、例 3 原文公式与数字提取混乱（"$1+4x^2+3x^3$" 等），此处按通解公式常规推导；讲义例 3 最终答案为 $y = x^2 + \frac{3}{x} + 2x^2\ln x$[?]，请对照原讲义核实。

练习：

1. $(1+x^2)y' + xy = e^{-x}$ → 通解 $y = \dfrac{e^{-x} + c}{\sqrt{1+x^2}}$[?]
2. $y' + 2xy = 4x$ → 通解 $y = 2 + ce^{-x^2}$
3. $\dfrac{dy}{dx} + y = xy^3$ → 改写为 $\dfrac{dx}{dy} - \dfrac{x}{y} = y^2$[?]，通解 $x = cy - y^2$[?]

二、伯努利（Bernoulli）方程

形如

$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n \quad (n \neq 0, 1)$$

的方程称为伯努利方程，其中 $P(x), Q(x)$ 为 $x$ 的连续函数。

解法：引入变量变换 $z = y^{1-n}$，方程化为

$$\frac{dz}{dx} + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)$$

求上述线性方程的通解，再变量还原。

例 4：求方程 $\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{1}{x}y = 2y^2$ 的通解。

解：这是 $n=2$ 的伯努利方程。令 $z = y^{-1}$，方程化为 $\dfrac{dz}{dx} - \dfrac{1}{x}z = -2$，解得 $z = cx + 2$，故通解为

$$y = \frac{1}{cx + 2}$$

例 5：求方程 $2xy' + y = y^2\ln x$ 的通解[?]。

解：改写为 $y' + \dfrac{1}{2x}y = \dfrac{\ln x}{2x}y^2$，这是 $n=2$ 的伯努利方程。令 $z = y^{-1}$，得 $z' - \dfrac{1}{2x}z = -\dfrac{\ln x}{2x}$，解得

$$z = \sqrt{x}\left(c - \frac{1}{2}(\ln x)^2\right)$$

故通解 $y = \dfrac{1}{\sqrt{x}\left(c - \frac{1}{2}\ln^2 x\right)}$。

三、线性微分方程的应用举例：R-L 串联电路

由电感 $L$、电阻 $R$ 和电源组成的串联电路，电动势 $E$ 为常数。开关 $K$ 合上后（$t=0$ 时刻，初始电流 $I(0) = 0$），求电流强度 $I(t)$。

由 Kirchhoff 第二定律（闭合回路电压代数和为零）：电感压降 $L\dfrac{dI}{dt}$，电阻压降 $RI$，故

$$L\frac{dI}{dt} + RI = E \quad \Rightarrow \quad \frac{dI}{dt} + \frac{R}{L}I = \frac{E}{L}$$

解线性方程得通解 $I(t) = \dfrac{E}{R} + ce^{-Rt/L}$，由 $I(0) = 0$ 得 $c = -\dfrac{E}{R}$，故

$$I(t) = \frac{E}{R}\left(1 - e^{-Rt/L}\right)$$

作业（2.2）：p30 1.（2、4、8、12）；2；p31 4；5.（2）；7.（2）

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§2.3 恰当方程与积分因子

一、恰当方程的定义及条件

设 $u(x,y)$ 是连续可微的函数，其全微分为 $du = \dfrac{\partial u}{\partial x}dx + \dfrac{\partial u}{\partial y}dy$。如果恰好有方程

$$\frac{\partial u(x,y)}{\partial x}dx + \frac{\partial u(x,y)}{\partial y}dy = 0$$

就可以马上写出它的隐式解 $u(x,y) = c$。

定义 1：若有函数 $u(x,y)$ 使得 $du(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy$，则称微分方程

$$M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 \tag{1}$$

是恰当方程。此时 (1) 的通解为 $u(x,y) = c$。

例：$xdy + ydx = 0$ 是恰当方程（$= d(xy)$）；$(3x^2 + 2xy)dy + (y^3 + x^2)dx = 0$ 是恰当方程（$= d(x^2y + y^3)$[?]）。

需考虑的问题：

1. 方程 (1) 是否为恰当方程？
2. 若是恰当方程，怎样求解？
3. 若不是恰当方程，有无可能转化为恰当方程求解？

方程为恰当方程的充要条件

定理 1：设函数 $M(x,y), N(x,y)$ 在矩形区域 $R$ 内连续且有连续的一阶偏导数，则方程 $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ 为恰当方程的充要条件是

$$\frac{\partial M(x,y)}{\partial y} = \frac{\partial N(x,y)}{\partial x} \tag{2}$$

证明：

• 必要性：设 (1) 是恰当方程，存在 $u(x,y)$ 使 $du = Mdx + Ndy$，则 $\dfrac{\partial u}{\partial x} = M, \dfrac{\partial u}{\partial y} = N$，从而 $\dfrac{\partial^2 u}{\partial y\partial x} = \dfrac{\partial M}{\partial y}$，$\dfrac{\partial^2 u}{\partial x\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$，由混合偏导数连续相等得 $\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$。
• 充分性：若 $\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$，构造 $u(x,y) = \int M(x,y)\,dx + \varphi(y)$，其中 $\varphi(y)$ 由 $\dfrac{\partial u}{\partial y} = N$ 确定：$\varphi'(y) = N - \dfrac{\partial}{\partial y}\int M\,dx$，可证右端与 $x$ 无关，积分即得。

通解公式：若 (1) 为恰当方程，则其通解为

$$\int M(x,y)\,dx + \int\left(N - \frac{\partial}{\partial y}\int M\,dx\right)dy = c$$

二、恰当方程的求解

关键是求原函数 $u(x,y)$ 的问题。三种方法：

1. 不定积分法

步骤：① 判断是否恰当方程；② 设 $u(x,y) = \int M\,dx + \varphi(y)$；③ 由 $\dfrac{\partial u}{\partial y} = N$ 求 $\varphi(y)$。

例 1：验证方程 $(e^x + y)\,dx + (x - 2\sin y)\,dy = 0$ 是恰当方程并求通解。

解：$M = e^x + y, N = x - 2\sin y$，$\dfrac{\partial M}{\partial y} = 1 = \dfrac{\partial N}{\partial x}$，故是恰当方程。

设 $u = \int(e^x + y)dx = e^x + yx + \varphi(y)$，由 $\dfrac{\partial u}{\partial y} = x + \varphi'(y) = x - 2\sin y$ 得 $\varphi'(y) = -2\sin y$，积分 $\varphi(y) = 2\cos y$。故通解

$$e^x + xy + 2\cos y = c$$

2. 线积分法

由曲线积分与路径无关定理，取 $(x_0, y_0) \in R$：

$$u(x,y) = \int_{x_0}^{x} M(x, y_0)\,dx + \int_{y_0}^{y} N(x, y)\,dy$$

通解为 $\int_{x_0}^{x} M(x,y_0)\,dx + \int_{y_0}^{y} N(x,y)\,dy = c$。

例 2：求解方程 $(2x\cos y + e^y)\,dx + (e^y - x^2\sin y)\,dy = 0$。

解：$M = 2x\cos y + e^y, N = e^y - x^2\sin y$，$\dfrac{\partial M}{\partial y} = -2x\sin y + e^y = \dfrac{\partial N}{\partial x}$，是恰当方程。取 $(x_0,y_0) = (0,0)$：

$$u = \int_0^x 2x\,dx + \int_0^y (e^y - x^2\sin y)\,dy = x^2 + e^y - 1 + x^2\cos y - x^2$$

整理得通解

$$x^2\cos y + e^y = c$$

3. 分组凑微法

采用"分项组合"的方法，把本身已构成全微分的项分出来，再把剩余项凑成全微分。应熟记简单二元函数的全微分：

$$xdy + ydx = d(xy), \quad \frac{xdy - ydx}{y^2} = d\left(\frac{x}{y}\right), \quad \frac{ydx - xdy}{x^2} = d\left(\frac{y}{x}\right)$$

$$\frac{xdy - ydx}{x^2 + y^2} = d\left(\arctan\frac{y}{x}\right), \quad \frac{xdy - ydx}{xy} = d\left(\ln\left\vert \frac{y}{x}\right\vert \right), \quad \frac{xdy + ydx}{x - y} = d\left(\ln\frac{x+y}{x-y}\right)[?]$$

例 3：求方程 $(3x^2 + 6xy^2)\,dx + (6x^2y + 4y^3)\,dy = 0$ 的通解。

解：$\dfrac{\partial M}{\partial y} = 12xy = \dfrac{\partial N}{\partial x}$，是恰当方程。分项组合：

$$(3x^2\,dx + 4y^3\,dy) + (6xy^2\,dx + 6x^2y\,dy) = d(x^3) + d(y^4) + d(3x^2y^2) = 0$$

故通解为 $x^3 + y^4 + 3x^2y^2 = c$。

例 4：验证方程 $(\cos x - x\sin x + xy^2)\,dx + (x^2y - y)\,dy = 0$[?] 是恰当方程，并求满足 $y(0) = 2$ 的解。

解：分项组合得 $d(x\cos x) + d\left(\dfrac{x^2y^2}{2}\right) - d\left(\dfrac{y^2}{2}\right) = 0$[?]，通解为

$$x\cos x + \frac{x^2y^2}{2} - \frac{y^2}{2} = c$$

由 $y(0) = 2$ 得 $c = -2$，故 $x\cos x + \dfrac{x^2y^2 - y^2}{2} = -2$，即 $x^2y^2 - y^2 + 2x\cos x + 4 = 0$。

校对点

例 4 讲义原文为 "$(\cos x - x\sin x)\,dx$" 与 "$xy^2 dx + (x^2y - y)dy$" 组合成 $d(x\cos x) + \dfrac{1}{2}d(x^2y^2 - y^2)$，最终 $x\cos x + \dfrac{x^2y^2 - y^2}{2} = c$，$c = -2$。若 $M$ 的 $xy^2$ 系数不同请以原讲义为准。

三、积分因子

对非恰当方程，乘上一个因子后可变为恰当方程。

例：一阶线性方程 $dy - (P(x)y + Q(x))dx = 0$ 不是恰当方程，乘以 $e^{-\int P(x)dx}$ 后变为恰当方程。

1. 定义

如果存在连续可微函数 $\mu(x,y) \neq 0$，使得

$$\mu(x,y)M(x,y)\,dx + \mu(x,y)N(x,y)\,dy = 0$$

为恰当方程，则称 $\mu(x,y)$ 是方程 (1) 的一个积分因子。

例 5：验证 $\mu = xy$ 是方程 $(3xy + 4y^2)\,dx + (2x^2 + 3xy)\,dy = 0$ 的积分因子并求通解。

解：乘以 $\mu = xy$ 后 $M' = 3x^2y^2 + 4xy^3, N' = 2x^3y + 3x^2y^2$，$\dfrac{\partial M'}{\partial y} = 6x^2y + 12xy^2 = \dfrac{\partial N'}{\partial x}$，是恰当方程。分项组合得 $d(x^3y^2) + d(x^2y^3) = 0$，通解

$$x^3y^2 + x^2y^3 = c$$

2. 积分因子的确定

$\mu(x,y)$ 是方程 (1) 的积分因子的充要条件是

$$\mu\left(\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}\right) = N\frac{\partial \mu}{\partial x} - M\frac{\partial \mu}{\partial y}$$

这本身是偏微分方程，一般比原方程更困难，但提供了寻找特殊形式积分因子的途径。

仅依赖于 $x$ 的积分因子：方程有仅依赖于 $x$ 的积分因子 $\mu = \mu(x)$ 的充要条件是

$$\psi(x) = \frac{\dfrac{\partial M}{\partial y} - \dfrac{\partial N}{\partial x}}{N}$$

只是 $x$ 的函数（与 $y$ 无关），此时积分因子为

$$\mu(x) = e^{\int \psi(x)\,dx} \tag{10}$$

仅依赖于 $y$ 的积分因子：同理，充要条件是

$$\varphi(y) = \frac{\dfrac{\partial N}{\partial x} - \dfrac{\partial M}{\partial y}}{M}$$

只是 $y$ 的函数，此时积分因子为 $\mu(y) = e^{\int \varphi(y)\,dy}$。

例 6：求方程 $(2y + 2y^2)\,dx + (y + e^x)\,dy = 0$[?] 的通解。

解：$M = 2y + 2y^2, N = y + e^x$，$\dfrac{\partial M}{\partial y} = 2 + 4y$，$\dfrac{\partial N}{\partial x} = e^x$，不是恰当方程。计算

$$\frac{\dfrac{\partial M}{\partial y} - \dfrac{\partial N}{\partial x}}{N} = \frac{2 + 4y - e^x}{y + e^x}$$

不满足仅依赖 $x$[?]；换用仅依赖 $y$ 的判别：

$$\frac{\dfrac{\partial N}{\partial x} - \dfrac{\partial M}{\partial y}}{M} = \frac{e^x - 2 - 4y}{2y + 2y^2}$$

亦非仅依赖 $y$[?]，此题积分因子需另寻（讲义结论 $\mu = e^x$，通解 $2xye^x + 2y^2e^x = c$[?]）。

校对点

例 6 讲义原文：$M = 2y+2y^2$，$N = y + e^x$，$\dfrac{\partial M}{\partial y} - \dfrac{\partial N}{\partial x} = (2+4y) - e^x$，讲义写为 $\dfrac{2+e^x}{N}$ 形式有笔误；最终取 $\mu = e^x$，通解 $2xye^x + 2y^2e^x = c$。请对照原讲义。

例 7：求解方程 $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x + \sqrt{x^2 + y^2}}{y}$（$y > 0$）[?]。

解：改写为 $x\,dx + y\,dy + \sqrt{x^2+y^2}\,dx = 0$，即 $\dfrac{1}{2}d(x^2+y^2) + \sqrt{x^2+y^2}\,dx = 0$，取积分因子 $\mu = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$，得

$$d\left(\sqrt{x^2+y^2}\right) + dx = 0$$

故通解为 $\sqrt{x^2+y^2} + x = c$。

例 8：求解方程 $ydx - (x + y)\,dy = 0$ 的通解（四种方法）。

解：

• 方法 1（积分因子）：$\dfrac{\partial M}{\partial y} - \dfrac{\partial N}{\partial x} = 1 - (-1) = 2$，$\dfrac{\dfrac{\partial N}{\partial x} - \dfrac{\partial M}{\partial y}}{M} = -\dfrac{2}{y}$ 仅依赖 $y$，$\mu = e^{\int -2/y\,dy} = \dfrac{1}{y^2}$。乘以 $\mu$ 得 $\dfrac{y\,dx - x\,dy}{y^2} - \dfrac{dy}{y} = 0$，即 $d\left(\dfrac{x}{y}\right) - d(\ln y) = 0$，通解 $\dfrac{x}{y} - \ln y = c$，即 $x = y\ln y + cy$。
• 方法 2（凑微分）：$ydx - xdy = y\,dy$，$\dfrac{ydx - xdy}{y^2} = \dfrac{dy}{y}$，得 $d\left(\dfrac{x}{y}\right) = d(\ln y)$，通解 $x = y\ln y + cy$。
• 方法 3（齐次方程）：$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x + y}$ 是齐次方程，令 $u = \dfrac{y}{x}$，解得 $\ln\vert x\vert = \ln\left\vert \dfrac{u}{1-u}\right\vert + c$[?]，变量还原得 $x = y\ln y + cy$。
• 方法 4（线性方程）：改写为 $\dfrac{dx}{dy} - \dfrac{1}{y}x = 1$，以 $y$ 为自变量、$x$ 为未知函数的线性方程，公式 (3) 得 $x = y\ln y + cy$。

校对点

例 8 讲义最终通解为 $\dfrac{x}{y} + \ln y = c$（即 $x + y\ln y = cy$）[?]，与上面 $x = y\ln y + cy$ 符号不同，请以原讲义为准。

作业（2.3）：p41 1.（1）（5）；2.（1）（4）（7）（9）；3、4、5、6、9

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§2.4 一阶隐方程与参数表示

一阶隐式方程 $F(x, y, y') = 0$，当 $y'$ 未能解出或解出形式复杂时，采用引进参数的办法使其变为导数已解出的方程类型。主要研究四种类型：

1. $y = f(x, y')$
2. $x = f(y, y')$
3. $F(x, y') = 0$（不显含 $y$）
4. $F(y, y') = 0$（不显含 $x$）

参数形式解的定义：如果存在定义在 $(\alpha, \beta)$ 上的函数 $\varphi(t), \psi(t)$ 使 $x = \varphi(t), y = \psi(t)$，且 $F(\varphi(t), \psi(t), \varphi'(t)/\psi'(t)) = 0$[?]，则称其为方程的参数形式解。

一、可解出 $y'$ 的方程：$y = f(x, y')$

设 $y' = p$，方程变为 $y = f(x, p)$，两边对 $x$ 求导，以 $p' = \dfrac{dp}{dx}$ 代入：

$$p = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial p}\frac{dp}{dx}$$

这是关于变量 $x, p$ 的一阶微分方程。求出其通解后回代：

• 若通解为 $p = \varphi(x, c)$，代入 $y = f(x, p)$ 即得通解 $y = f(x, \varphi(x,c))$
• 若通解为 $x = \psi(p, c)$，得参数形式通解 $\begin{cases} x = \psi(p, c) \\ y = f(\psi(p,c), p) \end{cases}$
• 若通解为 $\Phi(x, p, c) = 0$，得参数形式通解 $\begin{cases} \Phi(x, p, c) = 0 \\ y = f(x, p) \end{cases}$

例 1：求解方程 $y = \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2 - 2x\dfrac{dy}{dx} + 2x^2$[?]。

解：令 $p = y'$，则 $y = p^2 - 2xp + 2x^2$，两边对 $x$ 求导：

$$p = 2p\frac{dp}{dx} - 2p - 2x\frac{dp}{dx} + 4x$$

整理得 $(p - 2x)\left(\dfrac{dp}{dx} - 1\right) = 0$[?]，解得 $p = x + c$ 或 $p = 2x$。

• $p = x + c$ 代入得通解 $y = c^2 + cx + x^2$[?]
• $p = 2x$ 代入得一个解 $y = 2x^2$

曲线 $y = 2x^2$ 是积分曲线族的包络（通解中 $c=2x$ 时的极限情形），在微分方程中称 $y = 2x^2$ 为原方程的奇解。

校对点

例 1 讲义通解为 $y = c^2 + 2cx + x^2$[?]（原文 "$\frac{1}{2}p^2 + ...$" 混乱），奇解 $y = 2x^2$ 明确。请对照原讲义核实系数。

二、可解出 $x$ 的方程：$x = f(y, y')$

设 $y' = p$，方程变为 $x = f(y, p)$，两边对 $y$ 求导，以 $\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{p}$ 代入：

$$\frac{1}{p} = \frac{\partial f}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial p}\frac{dp}{dy}$$

得到关于变量 $y, p$ 的一阶微分方程，求出通解 $\Phi(y, p, c) = 0$ 后得参数形式通解 $\begin{cases} \Phi(y,p,c) = 0 \\ x = f(y, p) \end{cases}$。

例 2：求解方程 $x\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^3 - y\dfrac{dy}{dx} + 2 = 0$[?]。

解：设 $p = y'$，则 $x = \dfrac{yp - 2}{p^3}$（$p \neq 0$），两边对 $y$ 求导得关于 $y, p$ 的方程，解得 $yp^4 = c + 2p$[?]，参数形式通解为

$$\begin{cases} x = \dfrac{p^4 c + 2p^3 - 2p}{p^4}[?] \\ y = \dfrac{c + 2p}{p^4}[?] \end{cases}$$

另有解 $y = 0$。

校对点

例 2 讲义最终参数通解：$x = \dfrac{2p^3 - c}{p^4}$，$y = \dfrac{2p + c}{p^4}$（$p \neq 0$ 为参数），请以原讲义为准。

三、不显含 $y$ 的方程：$F(x, y') = 0$

设 $y' = p$，方程 $F(x, p) = 0$ 表示 $xp$ 平面上的一条曲线。若能找到参数表示 $x = \varphi(t), p = \psi(t)$（满足 $F(\varphi(t), \psi(t)) = 0$），则由 $dy = p\,dx = \psi(t)\varphi'(t)\,dt$ 积分得

$$y = \int \psi(t)\varphi'(t)\,dt + c$$

参数形式通解为 $\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \int \psi(t)\varphi'(t)\,dt + c \end{cases}$。关键一步（也是最困难一步）是找曲线的参数表示。

例 3：求解方程 $y' = x\sqrt{1 + (y')^2}$[?]。

解：设 $p = y'$，则 $p = x\sqrt{1+p^2}$，即 $x = \dfrac{p}{\sqrt{1+p^2}}$。取参数 $t$：令 $p = \tan t$，则 $x = \sin t$。由 $dy = p\,dx = \tan t \cos t\,dt = \sin t\,dt$，积分得 $y = -\cos t + c$。参数形式通解

$$\begin{cases} x = \sin t \\ y = c - \cos t \end{cases}$$

消去参数得 $(x)^2 + (y - c)^2 = 1$，即单位圆族。

四、不显含 $x$ 的方程：$F(y, y') = 0$

设 $y' = p$，方程 $F(y, p) = 0$ 表示 $yp$ 平面上的一条曲线，参数表示 $y = \varphi(t), p = \psi(t)$。由 $dx = \dfrac{dy}{p} = \dfrac{\varphi'(t)}{\psi(t)}\,dt$ 积分得

$$x = \int \frac{\varphi'(t)}{\psi(t)}\,dt + c$$

参数形式通解为 $\begin{cases} y = \varphi(t) \\ x = \int \dfrac{\varphi'(t)}{\psi(t)}\,dt + c \end{cases}$。

例 4：求解方程 $y = (y')^2 - 2y' + 1$[?]。

解：设 $p = y'$，令 $y = t^2 - 2t + 1 = (t-1)^2$，$p = t$[?]。由 $dx = \dfrac{dy}{p} = \dfrac{2(t-1)}{t}\,dt = 2\left(1 - \dfrac{1}{t}\right)dt$，积分 $x = 2t - 2\ln\vert t\vert + c$。参数形式通解

$$\begin{cases} y = (t-1)^2 \\ x = 2t - 2\ln\vert t\vert + c \end{cases}$$

此外 $y = \pm 1$ 也是方程的解[?]。

五、利用变量代换的微分方程积分法

当 $F(x, y, y') = 0$ 中 $x, y, y'$ 都不易解出，或虽能解出但积分较复杂时，可先作适当的变量代换再求解。如何选择变量代换没有一定规律，需要大量练习积累经验。

例 5：求解方程 $y(y')^2\cos x + y'\cos x - xy' - x = 0$[?]（令 $u = \sin y, v = \sin x$）。

解：令 $u = \sin y, v = \sin x$，则 $du = \cos y\,dy, dv = \cos x\,dx$，$y' = \dfrac{\cos x}{\cos y}\dfrac{dv}{du}$[?]。代入原方程化为关于 $u, v$ 的克莱洛（Clairaut）方程 $u = v\dfrac{du}{dv} + \left(\dfrac{du}{dv}\right)^2$，其通解 $u = cv + c^2$，奇解 $u = -\dfrac{v^2}{4}$。变量还原得

$$\sin y = c\sin x + c^2, \qquad \sin y = -\frac{\sin^2 x}{4}$$

例 6：求方程 $y(y')^2 - 2xy' + y = 0$ 的通解[?]（令 $u = y^2, v = x^2$）。

解：令 $u = y^2, v = x^2$，代入化为克莱洛方程，通解与奇解分别为[?]：

$$y = cx - \frac{c^2}{2}[?], \qquad x^2 = 2p^2 + \frac{2p^2}{(1+p^2)^2}[?]$$

校对点

例 5、例 6 讲义参数代换细节提取严重混乱（克莱洛方程通解 $u = cv + c^2$、$u = -\frac{v^2}{4}$ 等），此处仅给出结构框架，建议对照原讲义第 26–27 页核实。

作业（2.4）：p49-50：1.（15、19、20、25、29、30）；2、3、4；5（只做证明部分）

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本章小结

• 一阶方程初等解法体系：变量分离 → 齐次方程 → 线性方程（常数变易法）→ 伯努利方程 → 恰当方程（积分因子）→ 隐方程（参数法）
• 能初等解法的微分方程很有限，如 Riccati 方程 $\dfrac{dy}{dx} = P(x)y^2 + Q(x)y + R(x)$ 一般没有初等解法

相关笔记

• ODE常微分方程
• 第一章 绪论