第二章 随机变量及其分布

§1 随机变量

• 定义 : 设 $S=\{e\}$ 是试验的样本空间, 如果量 $X$ 是定义在 $S$ 上的一个单值实值函数，则称 $X$ 为随机变量 (r. v. $X$)
  • 映射: $X: S \to R$
• 引入意义: 将随机试验的结果数量化，描述随机事件 。
• 分类: 离散型随机变量、非离散型（连续型、奇异型/混合型）。

§2 离散型随机变量的分布律

• 定义: 若 $X$ 取值 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}, \ldots$ 且取这些值的概率依次为 $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k}, \ldots$，则称

$$P\{X=x_{k}\} = p_{k} \quad (k=1, 2, \ldots)$$

为 $X$ 的分布律。

• 性质：
  • 1.$p_k\geq0 ,k=1,2,3,\dots$;
  • 2.$\sum_{k\geq1}p_k=1$.

常见的离散型随机变量的分布律

1.两点分布

$X$	1	0
$p_k$	$1-p$	$p$

2.二项分布

记作$X\sim b(n,p)$ 其中： $X$表示n重贝努里试验中事件$A$发生的次数 $n$表示伯努利试验发生的次数 $p=p(A)$

$$P\{X = k\} = C_n^k p^k (1 - p)^{n - k},(k=0,1,2,3,\dots,n)$$

3.泊松分布(n很大，p很小的二项分布)

如果一个随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布即$X\sim \pi{(\lambda)}$，其概率质量函数为：

$$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}, \quad (k = 0, 1, 2, \dots)$$

• $\lambda$ (Lambda)：这是唯一的参数，代表事件发生的平均速率（或平均发生次数）。
• $e$：自然常数（约等于 2.718）。
• $k$：你想要计算的实际发生次数。

• **例 ** 问讯次数 $X \sim P(\lambda)$。已知 $P\{X=0\} = e^{-6}$
  • 求参数 $\lambda$: $P\{X=0\} = \frac{\lambda^{0}}{0!} e^{-\lambda} = e^{-\lambda}$。故 $\lambda = 6$。
  • 求 $P\{X \ge 2\}$:
    • 泊松分布公式: $P\{X=k\} = \frac{\lambda^{k}}{k!} e^{-\lambda}$

$$P\{X \ge 2\} = 1 - P\{X < 2\} = 1 - (P\{X=0\} + P\{X=1\})$$

$$P\{X \ge 2\} = 1 - (e^{-6} + \frac{6^{1}}{1!} e^{-6}) = 1 - 7 e^{-6} \approx 0.9826$$

§3 随机变量的分布函数

• 定义: 设 $X$ 是一个随机变量，分布函数 $F(x)$ 定义为:

$$F(x) = P\{X \le x\}, \quad -\infty < x < +\infty$$

$$P\{a<X\le b\}=P\{X\le b\}-P\{X\le a\}=F(b)-F(a)$$

• 性质：
  • 1.单调不减性 (Monotonicity)：若 $x_1 < x_2$，则 $F(x_1) \le F(x_2)$
  • 2.归一性 (Normalization / Boundedness)：$0 \le F(x) \le 1$，且 $F(-\infty) = 0, F(+\infty) = 1$
  • 3.右连续性 (Right-continuity)：$\lim_{x \to x_0^+} F(x) = F(x_0)$
• 一些公式：
  • $P(a < X \le b) = F(b) - F(a)$
  • $P(X > a) = 1 - F(a)$
  • $P(X = a) = F(a) - F(a-0)$
  • $P(X < a) = F(a-0)$

§4 连续型随机变量及其概率密度

• 概率密度函数 ($f(x)$) (定义): 若 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ 存在非负函数 $f(x)$, 使得 $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$, 则称 $f(x)$ 为 $X$ 的概率密度函数。
• 性质:
  1. $f(x) \ge 0$
  2. 归一性: $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$
• 概率计算: $P\{a < X < b\} = \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$

几个常用的连续型分布

1.均匀分布

如果随机变量 $X$ 在区间 $[a, b]$ 上服从均匀分布，记作 $X \sim U(a, b)$。它的概率密度函数是一条水平直线：

$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b - a}, & a \le x \le b \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

$$F(x) = P(X \le x) = \begin{cases} 0, & x < a \\ \frac{x - a}{b - a}, & a \le x < b \\ 1, & x \ge b \end{cases}$$

2.指数分布

如果随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布（其中 $\lambda > 0$），记作 $X \sim E(\lambda)$。它的概率密度函数为：

$$f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$$

$$F(x) = P(X \le x) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x}, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$$

3.正态分布

如果随机变量 $X$ 服从均值为 $\mu$、方差为 $\sigma^2$ 的正态分布，记作 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$。其密度函数公式为：

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

当 $\mu = 0, \sigma = 1$ 时，称为标准正态分布，记为 $Z \sim N(0, 1)$。

$$\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^{2}}{2}}, \quad -\infty < x < +\infty$$

$$\Phi(x) = P\{X \le x\} = \int_{-\infty}^{x} \varphi(t) dt$$

其分布函数通常用专用符号 $\Phi(x)$ 表示。任何一般的正态分布都可以通过以下公式标准化：

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

• 例1 (求参数 A, 概率, 分布函数): 已知 $f(x)=\begin{cases}A x^{2} & 0 < x < 1 \\ 0 & \text{其他}\end{cases}$
  • (1) 求参数 A (推导): 由 $\int_{0}^{1} A x^{2} dx = 1 \Rightarrow A \cdot \frac{x^{3}}{3} \vert _{0}^{1} = \frac{A}{3} = 1 \Rightarrow A = 3$。
  • (2) 求 $P\{0.5 < X < 3\}$ (推导): $P\{0.5 < X < 3\} = \int_{0.5}^{1} 3 x^{2} dx = x^{3} \vert _{0.5}^{1} = 1 - (0.5)^{3} = 0.875$。
  • (3) 求分布函数 $F(x)$ (推导):

$$F(x)=\begin{cases}0 & x \le 0 \\ \int_{0}^{x} 3 t^{2} dt = x^{3} & 0 < x < 1 \\ 1 & x \ge 1\end{cases}$$

无记忆性

如果随机变量 $X$ 具有无记忆性，对于任何正数 $s$ 和 $t$，以下等式成立：

$$P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$$

§5 随机变量函数的分布

• 公式法: 若 $X \sim f_{X}(x)$, $Y=g(x)$ 是严格单调可导函数, 则 $Y$ 的概率密度函数 $f_{Y}(y)$ 为:

$$f_{Y}(y) = f_{X}[g^{-1}(y)] \cdot \left\vert [cite_start]\frac{d g^{-1}(y)}{d y} \right\vert$$

• 例4 (线性变换 - 推导): 已知 $X \sim N(\mu, \sigma^{2})$, 求 $Y = \frac{X-\mu}{\sigma}$ 的概率密度。
  • 反函数: $x = g^{-1}(y) = \sigma y + \mu$(p54)。
  • 导数: $\left\vert \frac{d g^{-1}(y)}{d y} \right\vert [cite_start]= \sigma$ (p54)。
  • 结果: $f_{Y}(y) = f_{X}(\sigma y + \mu) \cdot \sigma = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y^{2}}{2}}$。
  • 结论: $Y \sim N(0, 1)$ (p54)。

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