第一章 概率论的基础知识

§1 随机试验

定义: 对随机现象的观察，称为随机试验（简称试验），记为 $E$。

• 特点 :
  1. 可在相同条件下重复进行。
  2. 试验结果可能不止一个，但能明确所有的可能结果 。
  3. 试验前无法确定是哪个结果会出现 。

§2 样本空间、随机事件

样本空间 ($\Omega$): 试验的所有可能结果所组成的集合，记为 $\Omega=\{\omega\}$ 。 样本点 ($\omega$): 试验的每一个结果或样本空间的每个元素。 随机事件 (事件): 试验中可能出现也可能不出现的情况，记作 $A, B, C$ 等 。任何事件均对应着样本空间的某个子集。

• 特殊事件 :
  • 必然事件: 样本空间 $\Omega$ 。
  • 不可能事件: 空集 $\emptyset$。
  • 基本事件: 只包含一个样本点的事件 $\{\omega\}$ 。
• 事件间的关系: *1.包含关系: $A \subset B$（$A$ 发生必导致 $B$ 发生。) 2.和事件：事件A与B至少有一个发生$\Leftrightarrow$A$\bigcup$B发生 3.积事件：A与B同时发生$\Leftrightarrow$A$\bigcap$B=AB发生 4.**差事件：**A-B发生$\Leftrightarrow$事件A发生而事件B不发生 5.**互斥的事件：**AB=$\emptyset$ 6.**互逆的事件：**若A$\bigcup$B＝ Ω, 且AB＝$\emptyset$，称A与B互为逆事件. 表示A,B不可能同时发生，但必有一个发生。

事件的运算

1. 交换律 (Commutative Law)

• $A \cup B = B \cup A$
• $AB = BA$（注：$AB$ 通常表示交集 $A \cap B$）

2. 结合律 (Associative Law)

• $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$
• $(AB)C = A(BC)$

3. 分配律 (Distributive Law)

• $(A \cup B)C = (AC) \cup (BC)$
• $(AB) \cup C = (A \cup C)(B \cup C)$

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4. 对偶律 / 德·摩根定律 (De Morgan's Laws)

这是集合运算中非常重要的变换规则，描述了“补集”与“并、交运算”的关系：

• 基本形式：
  • $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$ （并的补等于补的交）
  • $\overline{AB} = \bar{A} \cup \bar{B}$ （交的补等于补的并）
• 可推广形式 (Generalization)：
  • $\overline{\bigcup\limits_{k} A_k} = \bigcap\limits_{k} \bar{A}_k$
  • $\overline{\bigcap\limits_{k} A_k} = \bigcup\limits_{k} \bar{A}_k$

• 例1 (掷骰子): $E_{4}$: 掷一颗骰子，考察可能出现的点数。
  • 样本空间: $S_{4}=\{1,2,3,4,5,6\}$ 。
  • 事件 $A=$“掷出偶数点” $=\{2,4,6\}$。
  • 事件 $B=$“掷出大于4的点” 。

§3 古典概型与概率

• 概率的性质:
  • (1) $P(\emptyset)=0$。
  • (2) 有限可加性: 设 $A_{1}, \ldots, A_{n}$ 是 $n$ 个两两互不相容的事件 ($A_{i} A_{j}=\emptyset$), 则

$$P(A_{1} \cup A_{2} \cup \ldots \cup A_{n}) = P(A_{1}) + P(A_{2}) + \ldots + P(A_{n})$$

* (4) **事件差:** $P(A-B) = P(A) - P(AB)$。
* (5) **加法公式:** 对任意两事件 $A, B$，有

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$$

* (6)**互补性:** $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ 。

• 例 (古典概型抽球公式): 盒中有 $N$ 个球，其中 $M$ 个白球，现从中任抽 $n$ 个球，则这 $n$ 个球中恰有 $k$ 个白球的概率是:

$$P = \frac{C_{M}^{k} C_{N-M}^{n-k}}{C_{N}^{n}}$$

§4 条件概率、独立性

• 条件概率 (定义): 设 $A, B$ 为两个事件，且 $P(A) > 0$，则称 $B$ 在 $A$ 发生的条件下发生的概率为:

$$P(B\vert A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$$

• 乘法公式 (推导): $P(AB) = P(A) P(B\vert A)$
• 两个事件的独立性 (定义 p14): 若 $P(AB) = P(A) P(B)$，则称事件 $A$ 与 $B$ 相互独立。
• 例 (独立性证明): 证明若 $A, B$ 相互独立, 则 $A, \bar{B}$ 相互独立。
  • 证明:

$$P(A \bar{B}) = P(A - AB) = P(A) - P(AB)$$

(事件差公式) * 因 $A, B$ 独立: $P(AB) = P(A)P(B)$ 。

$$P(A \bar{B}) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)[1 - P(B)] = P(A)P(\bar{B})$$

    * 故 $A$ 与 $\bar{B}$ 相互独立。

§5 全概率公式与贝叶斯公式

• 全概率公式 (应用例题):
  • 例1 (袋子抽球): 甲袋（2白，1红），乙袋（2红，1白）。从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋任取一球是红球 ($B$) 的概率。
  • 设 $A_{1}$ - 从甲袋放入乙袋的是白球 ($P(A_{1}) = 2/3$)；$A_{2}$ - 从甲袋放入乙袋的是红球 ($P(A_{2}) = 1/3$)。
  • 若 $A_{1}$ 发生 (乙袋 2白2红), $P(B\vert A_{1})=2/4=1/2$。
  • 若 $A_{2}$ 发生 (乙袋 1白3红), $P(B\vert A_{2})=3/4$。
  • 全概率公式: $P(B) = P(B|A_{1}) P(A_{1}) + P(B|A_{2}) P(A_{2})$

$$P(B) = \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{3} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$$

• 贝叶斯公式 *

$$P(A_j\vert B)=\frac{P(A_j)P(B\vert A_j)}{\sum^{n}_{i=1}{P(A_i)P(B\vert A_i)}},(j=1,\dots,n)$$

错题

概率为0的事件不一定是不可能事件。选D ---