第三章 流体的物理性质

流体的连续介质模型

什么是固体？什么是流体？

初高中我们从分子间距离，也就是微观的角度去进行分类和理解。

流体力学研究的是宏观的性质，我们从宏观的视角去重新认识流体。

流体的宏观性质： 没有固定的形状，不一定具有固定的体积，且不能通过静止变形抵抗剪切。

流体的分子输运性质： 通过随机运动交换质量，动量，能量。对应的宏观效应是扩散，粘性和热传导。

连续介质模型

1. 流体是连续分布的物质，它可以无限分割为具有一定质量的宏观微元体（物理模型）

2. 在不发生化学反应和离解等非平衡热力学过程的运动流体中，微元体内流体状态服从热力学关系(仅有两个热力学参数是独立的，且与流体的历史无关)；

3. 除特殊面（界面、激波等）外，流体的力学和热力学状态参数在时空中是连续分布的，并且通常认为是无限可微的。

连续介质模型的适用范围： 流体的运动尺度远远大于流体分子运动的平均自由程。 而王先智《物理流体力学》给出了流体力学适用条件为：体积元尺寸比分子尺寸大两到三个数量级。

为了衡量连续介质模型是否适用，给出了

[! definition] 努森数

$$Kn=\frac{\lambda}{L}$$

即分子自由程/流动特征长度

流体微团及流体质点

流体微团

[! definition] 流体微团 把流体无限分割为具有一定质量的微元，它是研究流体运动的最小单元，称为“流体微团”

[! 性质] 流体微团应是宏观上无限小，微观上无限大的质量体

流体质点

当不需要考虑流体微团的体积和变形，只研究它的位移和各个物理状态时，我们可以把它视作没有体积的质点，这时我们称流体微团为流体质点。

流体物理量

空间任一点上的流体物理量（如密度、温度、速度等）是指位于该点上的流体质点的物理量，是宏观平均量的极限值。

如：流体在某一点上的密度定义为：

$$\rho(P)=\lim _{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\Delta M}{\Delta V}$$

根据连续介质模型，流体中每一点都被相应的流体质点所占据，流体质点可以用时空中的一个点$(\boldsymbol{x},t)$来标记 ，因此流体宏观物性的不均匀性，可以用时空变量$(\boldsymbol{x},t)$的函数来描述，即是一个场函数。

流体的基本性质

流体的易流动性

流体在任意微小的剪切力作用下发生连续不断变形的性质。这是流体的本质属性。即流体无法通过静止变形抵抗剪切。

流体的粘性

[! definition] 粘性 流体运动时，流体微团之间具有抵抗相互滑移运动的属性，称为流体的粘性。

粘性是流体的固有属性之一，不论是静止流体还是运动流体都具有粘性。

无滑移边界： 物体表面的流体速度总是与物体速度一致。

[! 定律] 牛顿内摩擦定律

$$\tau=\mu\frac{dU}{dy}$$

• $\mu$:动力黏性系数
• 适用范围：平行流

动力粘性系数$\mu=\mu(\theta)$ 是流体粘性大小的一种度量，它取决于流体的种类和状态，与温度$\theta$有很大关系，而与压力关系不大

后面还会用到运动粘性系数$\nu$：

$$\nu=\frac{\mu}{\rho}=\nu(\theta,\rho)$$

常温常压下：

• 液体：$\theta \uparrow \quad \mu \downarrow \quad \rho \downarrow \quad v \downarrow$
• 气体：$\theta \uparrow \quad \mu \uparrow \quad \rho \downarrow \quad v \uparrow$

流体的压缩性

由于压强变化而引起流体体积变化的性质

分液体和气体讨论：

液体

体积压缩系数： 在一定温度下，单位压强增量引起的流体体积的相对变化量。

$$\beta=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{T}=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\mathrm{~d} \rho}{\mathrm{~d} p}\right)_{T} \quad \mathrm{M}^{2} / \mathrm{N}$$

体积弹性模量：$E=\frac{1}{\beta}$

气体

理想气体状态方程：

$$p=\rho R \theta$$

• R:气体常数（空气：R=287 $J/(kg\cdot K)$

不可压缩流体： 流体运动过程中密度相对变化微小的流体

一般情况下，液体的密度几乎不随压强变化，视为不可压流体.

气体视为可压缩的，但气体速度远小于当地音速时，视为不可压。

理想流体

粘性系数等于零的流体称为理想流体。理想流体也不考虑流体的扩散和热传导性质。

• 人们为简化实际问题所提出的的一种抽象模型
• 可用于粘性系数较小、远离固壁、速度梯度较小情况

作用在流体上的体积力和表面力

在流体中，任取一流体微团，其上受到两种外力：

• 第一种外力作用在流体微团的质心上，与流体微团的体积成正比，称为体积力，属于非接触力；
• 第二种外力是周围流体或物体作用在流体微团表面上的力，与力的作用面大小成正比，称为表面力，是接触力。

体积力和体积力强度

几种体积力

1. 地球引力场中流体微团受到的引力与它的质量成正比 $$\left.\begin{array}{l} \delta \boldsymbol{G}=\boldsymbol{g} \delta m \ \delta m=\rho \delta V \end{array}\right} \Rightarrow \delta \boldsymbol{G}=\rho \underline{\boldsymbol{g}} \delta V$$
2. 流体在非惯性坐标系中运动时，受到的惯性力 $$\delta \boldsymbol{F}=-\boldsymbol{a} \delta m=-\rho \underline{\boldsymbol{a}} \delta V$$
3. 带电质点在静电场中运动时，受到的静电力

   $$\delta \boldsymbol{F}=q \boldsymbol{E} \delta V$$

体积力强度

流体微团单位体积上作用的体积力称为体积力强度

$$\boldsymbol{f}_{V}=\lim _{\delta V \rightarrow 0} \frac{\delta \boldsymbol{F}}{\delta V}$$

体积力合力及合力矩（有限体积的流体）

• 主失：$\boldsymbol{F}=\int_{V} \boldsymbol{f}_{V} \mathrm{~d} V$
• 主矩：$\boldsymbol{M}=\int_{V} \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{f}_{V} \mathrm{~d} V$

表面力和应力

定义:

单位面积上的表面力称为称为“应力”（矢量）

$$\boldsymbol{T}(\boldsymbol{n})=\lim _{\delta A \rightarrow 0} \frac{\delta \boldsymbol{F}}{\delta A}$$

**注意：** 1. 应力和它的作用面的方向有关； 2. $\boldsymbol{T}(\boldsymbol{n})$是向量，可分解为沿作用面的法向分量（正应力）和切向分量（切应力）。 - 正应力：$T(\boldsymbol{n}, \boldsymbol{n})=\boldsymbol{T}(\boldsymbol{n}) \cdot \boldsymbol{n}$ - 切应力：$T(\boldsymbol{n}, \boldsymbol{t})=\boldsymbol{T}(\boldsymbol{n}) \cdot \boldsymbol{t}$ - 切应力：$T(\boldsymbol{n}, \boldsymbol{s})=\boldsymbol{T}(\boldsymbol{n}) \cdot \boldsymbol{s}$

一点上的应力张量及其性质

一点的应力状态

一点上三个相互垂直平面上的应力向量称为一点的应力状态

只要知道一点的应力状态，就可以确定通过该点任意面上的应力 采用指标表示:

$$\left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{T}\left(\boldsymbol{e}_{i}\right)=\boldsymbol{T}_{i} \quad \boldsymbol{T}\left(-\boldsymbol{e}_{i}\right)=-\boldsymbol{T}_{i} \\ \boldsymbol{n}=n_{1} \boldsymbol{e}_{1}+n_{2} \boldsymbol{e}_{2}+n_{3} \boldsymbol{e}_{3}=n_{i} \boldsymbol{e}_{i} \end{array}\right.$$

投影关系:

$$\delta A_{i}=\delta A n_{i}$$

平衡方程：

$$\boldsymbol{T}(\boldsymbol{n})=\boldsymbol{T}_{1} n_{1}+\boldsymbol{T}_{2} n_{2}+\boldsymbol{T}_{3} n_{3}=n_{i} \boldsymbol{T}_{i}$$

应力张量分量

$\boldsymbol{T}(\boldsymbol{n})=n_{i} \boldsymbol{T}_{i}$ 一个向量可分解为三个分量

$$\left.\begin{array}{l} \boldsymbol{T}_{1}=T_{11} \boldsymbol{e}_{1}+T_{12} \boldsymbol{e}_{2}+T_{13} \boldsymbol{e}_{3}=T_{1 j} \boldsymbol{e}_{j} \\ \boldsymbol{T}_{2}=T_{21} \boldsymbol{e}_{1}+T_{22} \boldsymbol{e}_{2}+T_{23} \boldsymbol{e}_{3}=T_{2 j} \boldsymbol{e}_{j} \\ \boldsymbol{T}_{3}=T_{31} \boldsymbol{e}_{1}+T_{32} \boldsymbol{e}_{2}+T_{33} \boldsymbol{e}_{3}=T_{3 j} \boldsymbol{e}_{j} \end{array}\right\} \boldsymbol{T}_{i}=T_{i j} \boldsymbol{e}_{j}$$

一点的应力状态还可以用九个代数值组成的矩阵表示:

$$\left[T_{i j}\right]=\left[\begin{array}{lll} T_{11} & T_{12} & T_{13} \\ T_{21} & T_{22} & T_{23} \\ T_{31} & T_{32} & T_{33} \end{array}\right]$$

第一个指标代表作用面，第二个指标代表应力分量

于是任意面上的应力可表示为

$$\boldsymbol{T}(\boldsymbol{n})=n_{i} \boldsymbol{T}_{i}=n_{i} T_{i j} \boldsymbol{e}_{j}$$

即 $\boldsymbol{T}(\boldsymbol{n})$ 的分量就是把 $n_{i} T_{i j}$ 作为自由指标 $j$ 写开。

[! 定理] 切应力互等定理

$$T_{i j}=T_{j i}$$

应力张量是对称张量，因此九个分量中只有六个是独立的。

说明： 该定理由 0 阶流体微团（点的单元体）的力矩平衡给出。在 $x_{1} O x_{2}$ 平面内取单元体 $d x_{1} d x_{2}$，设两个剪应力分量的大小分别为 $T_{12}$、$T_{21}$，则它们对单元体质心的力矩分别为

$$T_{12} d x_{2} d x_{3} \cdot \frac{d x_{1}}{2}, \quad T_{21} d x_{1} d x_{3} \cdot \frac{d x_{2}}{2}$$

而两者转向相反，由转动平衡（合力矩为零）可得

$$T_{12}=T_{21}$$

其余两对分量同理，合起来即 $T_{i j}=T_{j i}$。

应力张量实体

以上是应力的分量形式，把分量收起来写成坐标无关的实体形式：

$$\boldsymbol{T}(\boldsymbol{n})=n_{i} \boldsymbol{T}_{i}=n_{i} T_{i j} \boldsymbol{e}_{j}=\left(n_{k} \delta_{i k}\right) T_{i j} \boldsymbol{e}_{j}=n_{k}\left(\boldsymbol{e}_{k} \cdot \boldsymbol{e}_{i}\right) T_{i j} \boldsymbol{e}_{j}=n_{k} \boldsymbol{e}_{k} \cdot\left(T_{i j} \boldsymbol{e}_{i} \boldsymbol{e}_{j}\right)=\boldsymbol{n} \cdot\left(T_{i j} \boldsymbol{e}_{i} \boldsymbol{e}_{j}\right)$$

[! definition] 应力张量实体

$$\boldsymbol{T}=T_{i j} \boldsymbol{e}_{i} \boldsymbol{e}_{j}$$

具有坐标不变性：

$$\boldsymbol{T}=T_{i j} \boldsymbol{e}_{i} \boldsymbol{e}_{j}=T_{m n}^{\prime} \boldsymbol{e}_{m}^{\prime} \boldsymbol{e}_{n}^{\prime}$$

于是 $n$ 截面上的应力矢量与 $n$ 截面上 $s$ 方向的应力分量分别写成

$$\boldsymbol{T}(\boldsymbol{n})=\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{T}$$

$$T(\boldsymbol{n}, \boldsymbol{s})=\boldsymbol{T}(\boldsymbol{n}) \cdot \boldsymbol{s}=\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{T} \cdot \boldsymbol{s}$$

这与前文应力分量 $T(\boldsymbol{n}, \boldsymbol{t})=\boldsymbol{T}(\boldsymbol{n}) \cdot \boldsymbol{t}$ 的约定一致。