第二章 张量代数基础

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之前学过的物理量分为标量和向量，其实可以都归结于张量。

而我们知道，表示一个物理量有很多种方式，比如实体形式和分量形式。

实体形式具有客观存在性和坐标无关性。 而分量形式依赖于选取的坐标系，是随着坐标变化的。

如应力：$$\boldsymbol{\sigma}=\begin{bmatrix} \sigma_{11}&\sigma_{12} &\sigma_{13} \ \sigma_{21}&\sigma_{22} &\sigma_{23} \ \sigma_{31}&\sigma_{32} &\sigma_{33} \end{bmatrix}$$ 左侧即为实体形式，右侧为分量形式。

张量的指标表示

向量的表示

$$\boldsymbol{a}=a_{1}\boldsymbol{e}_{1}+a_{2}\boldsymbol{e}_{2}+a_{3}\boldsymbol{e}_{3}:\begin{bmatrix} a_{1} &a_{2} &a_{3} \end{bmatrix}^\mathrm{T}:a_{i}$$

$$\boldsymbol{b}=b_{1}\boldsymbol{e}_{1}+b_{2}\boldsymbol{e}_{2}+b_{3}\boldsymbol{e}_{3}:\begin{bmatrix} b_{1} &b_{2} &b_{3} \end{bmatrix}^\mathrm{T}:b_{j}$$

$$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}:a_{i}+b_{i}$$

$$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=a_{i}b_{i}$$

这里使用爱因斯坦求和约定：重复下标默认求和。

向量是一阶张量。

张量的指标表示

$$\boldsymbol{C}=\begin{bmatrix} c_{11}&c_{12} &c_{13} \\ c_{21}&c_{22} &c_{23} \\ c_{31}&c_{32} &c_{33} \end{bmatrix}:C_{ij}$$

矩阵是二阶张量。

张量运算

点乘

$$\boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{D}:C_{ij}D_{jk}\rightarrow\text{结果为矩阵，二阶张量，剩两个自由指标}$$

$$\boldsymbol{C}\cdot \boldsymbol{x}:C_{ij}x_{j}\rightarrow\text{结果为向量，剩一个自由指标}i$$$$\boldsymbol{y}\cdot \boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{x}:y_{i}C_{ij}x_{i}\rightarrow\text{结果为数，剩零个自由指标}$$ 相邻张量的相邻指标相同

缩并：降两阶的手段

$$C_{ij}\Rightarrow C_{ii}$$

二阶张量缩并之后就是矩阵的迹，即二阶张量对角线元素之和，也是二阶张量特征值之和。 张量自身一对指标相同

并积

$$\boldsymbol{x}:x_{i}\quad \boldsymbol{y}=y_{j}$$

$$\boldsymbol{x}\boldsymbol{y}=x_{i}y_{j}$$

两个张量放在一起不做任何表示（指标不重复）

指标表示规则

1. 每一项中，同一指标最多出现两次
   1. 出现一次的指标是自由指标，可以任意取值
   2. 出现两次的指标是哑指标，自动求和，触发爱因斯坦求和约定
2. 指标平衡：每一项中，自由指标数相同且一一对应。

向量乘法与指标运算

对于$$\boldsymbol{a}=a_{i}\boldsymbol{e}{i}，\quad \boldsymbol{b}=b\boldsymbol{e}_{i}$$

• 点乘：$\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}=a_{i}b_{i}$
• 叉乘：$\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=a_{i}b_{j}\varepsilon_{ijk}$
• 混合积：$\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}=a_{i}b_{j}c_{k}\varepsilon_{ijk}$

两个重要符号：

Kronecker$\delta$符号

$$\boldsymbol{e}_{i}\boldsymbol{e}_{j}=\delta_{ij}= \begin{cases} 1, & i = j \\ 0, & i \neq j \end{cases}$$

这是一个单位阵。 说明：

1. $\delta_{ij}=\delta_{ji}$
2. $a_{i}\delta_{ij}=a_{j},\quad A_{mi}\delta_{ij}=A_{mj}$，Kronecker$\delta$符号有换脚标的一个效果。 例：$\boldsymbol{a}\boldsymbol{e}_{j}=a_{i}\boldsymbol{e}_{i}\boldsymbol{e}_{j}=a_{i}\delta_{ij}=a_{j}$

置换符号$\varepsilon$

$$\boldsymbol{e}_{i}\times\boldsymbol{e}_{j}=\varepsilon_{ijk}\boldsymbol{e}_{k}$$

置换符号$$ \varepsilon_{ijk}=\begin{cases}0, & i,j,k\text{ 中有两个相同}\ 1, & i,j,k\text{ 为 }1,2,3\text{ 的偶排列}\ -1, & i,j,k\text{ 为 }1,2,3\text{ 的奇排列} \end{cases}$$ 如下图，满足顺时针关系时为1，逆时针为-1。