第一章数制与 BCD 码

所属：数字逻辑基础（第 8 章 8.1 节）

数制（进位计数制）：用进位的方法来计数，包括计数符号（数码） 和进位规则两个方面。常用的有十进制、二进制、八进制、十六进制等。

8.1.1 常用数制

1. 常用数制一览

数制	计数符号	进位规则	按权展开式
十进制	0~9	逢十进一	$(N)_{10}=\sum\limits_{i=-m}^{n-1}a_i\times10^{i}$
二进制	0、1	逢二进一	$(N)_{2}=\sum\limits_{i=-m}^{n-1}a_i\times2^{i}$
八进制	0~7	逢八进一	$(N)_{8}=\sum\limits_{i=-m}^{n-1}a_i\times8^{i}$
十六进制	0~9、A~F	逢十六进一	$(N)_{16}=\sum\limits_{i=-m}^{n-1}a_i\times16^{i}$

其中 $a_i$ 为系数、 $R^{i}$ 为权（ $R$ 为基数）。

例：

十进制： $1987.45=1\times10^{3}+9\times10^{2}+8\times10^{1}+7\times10^{0}+4\times10^{-1}+5\times10^{-2}$
十六进制： $(6D.4B)_{16}=6\times16^{1}+13\times16^{0}+4\times16^{-1}+11\times16^{-2}$ （ $D=13$ 、 $B=11$ ）
八进制： $(63.45)_{8}=6\times8^{1}+3\times8^{0}+4\times8^{-1}+5\times8^{-2}$

数字电路中采用二进制的原因：

数字装置简单可靠；
二进制数运算规则简单；
数字电路既可以进行算术运算，也可以进行逻辑运算。

2. 二进制与十进制之间的转换

二进制 → 十进制（按权展开法）：

(1011.101)_{2}=1\times2^{3}+0\times2^{2}+1\times2^{1}+1\times2^{0}+1\times2^{-1}+0\times2^{-2}+1\times2^{-3}=8+2+1+0.5+0.125=(11.625)_{10}

十进制 → 二进制（提取 2 的幂法）：

(45.5)_{10}=32+8+4+1+0.5=1\times2^{5}+0\times2^{4}+1\times2^{3}+1\times2^{2}+0\times2^{1}+1\times2^{0}+1\times2^{-1}=(101101.1)_{2}

数制转换还可以采用基数连除、连乘（除基数取余、乘基数取整）等方法。

3. 二进制算术运算

运算规则与十进制相同，区别是逢二进一。
特点：加、减、乘、除全部可以用移位和相加两种操作实现，电路结构简化，所以数字电路中普遍采用二进制算术运算。

加法：逐位相加并处理进位。设 $A=A_3A_2A_1A_0$ 、 $B=B_3B_2B_1B_0$ ，和为 $S=S_3S_2S_1S_0$ ：

S_0=A_0+B_0\ (\text{进位 }C_1),\quad S_1=A_1+B_1+C_1\ (\text{进位 }C_2),\ \cdots

A+B=C_4S_3S_2S_1S_0

减法：将减数 $B$ 变成补码后与被减数 $A$ 相加，若有进位则舍去，其和即为两数之差。例：

Y=(1000)_{2}-(0100)_{2}=(1000)_{2}+\left[(1011)_{2}+1\right]=(1000)_{2}+(1100)_{2}=(10100)_{2}\xrightarrow{\text{舍去进位}}(0100)_{2}

乘法：乘以 2 相当于左移一位。实现方法：① 按十进制乘法过程；② 移位相加法。

除法：除以 $2^{k}$ 相当于右移 $k$ 位。例（ $k=2$ ，即除以 4）：

(00001011)_{2}\div(100)_{2}=(00000010)_{2}\ \text{（商）},\qquad \text{余数}=(11)_{2}

4. 带符号数的表示：原码、反码和补码

计算机中的带符号数表示为 符号位 + 真值（合称机器数），符号位用 "0" 表示正、"1" 表示负。

编码	定义	说明
原码 $[X]_原$	最高位为符号位，其余为真值部分	正负号与原真值对应关系简单、容易理解；但用原码进行加减运算比较困难，0 的表示不唯一
反码 $[X]_反$	$X>0$ 时同原码； $X<0$ 时符号位不变、数值部分按位取反	0 的反码也不唯一
补码 $[X]_补$	$X>0$ 时同原码； $X<0$ 时 $[X]_补=[X]_反+1$	符号位与 $[X]_原$ 相同；0 的表示唯一，可将减法转换为加法

例（ $X=-52=-0110100$ ）：

[X]_原=1\,0110100,\qquad [X]_反=1\,1001011,\qquad [X]_补=[X]_反+1=11001100

0 的编码：8 位原码中 $+0=0\,0000000$ 、 $-0=1\,0000000$ ，不唯一；补码表示唯一：

[-0]_补=[-0]_反+1=11111111+1=1\,00000000\xrightarrow{\text{8 位字长舍去进位}}00000000

特殊数 $10000000$ ：

原码中定义为 $-0$ ；反码中定义为 $-127$ ；补码中定义为 $-128$ ；作为无符号数时 $(10000000)_{2}=128$ 。

表示范围（8 位）：

编码	表示范围
原码 / 反码	$-127\sim+127$
补码	$-128\sim+127$
无符号数	$0\le X\le 2^{n}-1$

补码运算：引进补码后，减法可转换为加法：

[X+Y]_补=[X]_补+[Y]_补,\qquad [X-Y]_补=[X]_补+[-Y]_补

例： $X=-0110100$ 、 $Y=+1110100$ ，求 $X+Y$ ：

[X]_补=11001100,\quad [Y]_补=01110100

[X+Y]_补=[X]_补+[Y]_补=11001100+01110100=01000000

符号位讨论（用二进制补码求 $13\pm10$ 、 $-13\pm10$ ，6 位字长）：

13+10=0\,01101+0\,01010=0\,10111=23

13-10=0\,01101+1\,10110=0\,00011=3

-13+10=1\,10011+0\,01010=1\,11101=-3

-13-10=1\,10011+1\,10110=1\,01001=-23

无符号数的溢出： $0\le X\le 2^{n}-1$ ，运算结果超出该范围即产生溢出；判断准则：运算时**最高位向更高位有进位（或借位）**则产生溢出。

8.1.2 几种简单的编码

1. 二-十进制码（BCD 码，Binary Coded Decimal codes）

用四位二进制代码来表示一位十进制数码。四位二进制有 16 种组合，可任选其中 10 种表示十进制数的 10 个符号，选择方法不同就得到不同的编码形式。常见的有 8421 码、5421 码、2421 码、余 3 码等。

十进制数	8421 码	5421 码	2421 码	余 3 码
0	0000	0000	0000	0011
1	0001	0001	0001	0100
2	0010	0010	0010	0101
3	0011	0011	0011	0110
4	0100	0100	0100	0111
5	0101	1000	1011	1000
6	0110	1001	1100	1001
7	0111	1010	1101	1010
8	1000	1011	1110	1011
9	1001	1100	1111	1100

有权 BCD 码：每位数码都有确定的位权，如 8421 码、5421 码、2421 码。
- 例：5421 码 $1011$ 代表 $5+0+2+1=8$ ；2421 码 $1100$ 代表 $2+4+0+0=6$ 。
- 5421 码与 2421 码编码不唯一，如 2421 码 $0110$ 也可表示 6。
表中编码的特征：
1. 8421 码与代表 0~9 的二进制数一一对应；
2. 5421 码前 5 个码与 8421 码相同，后 5 个码在前 5 个码的基础上加 1000；
3. 2421 码前 5 个码与 8421 码相同，后 5 个码以中心对称取反，称为自反代码。例： $4\to0100$ 、 $5\to1011$ ； $0\to0000$ 、 $9\to1111$ 。
无权 BCD 码：每位数码无确定的位权，如余 3 码，其编码规律为在 8421 码上加 0011。例：6 的余 3 码为 $0110+0011=1001$ 。

2. 格雷码（Gray 码）

无权码；特点：相邻两个代码之间仅有一位不同，其余各位均相同，这种代码称为循环码，格雷码是循环码。
与四位二进制码之间的关系：设二进制码为 $B_3B_2B_1B_0$ 、格雷码为 $R_3R_2R_1R_0$ ，则

R_3=B_3,\qquad R_2=B_3\oplus B_2,\qquad R_1=B_2\oplus B_1,\qquad R_0=B_1\oplus B_0

$\oplus$ 为异或运算符，运算规则：两运算数相同结果为 "0"，不同结果为 "1"。

3. 计算机字符集

各种文字和符号的总称，包括各国家文字、标点符号、图形符号、数字等。常见字符集：ASCII、GB2312、BIG5、GB18030、Unicode。

总结要点

主题	要点
常用数制	十进制 / 二进制 / 八进制 / 十六进制；按权展开 $(N)_{R}=\sum a_i\times R^{i}$
二-十转换	二 → 十按权展开；十 → 二提取 2 的幂（还可用基数连除、连乘）
二进制算术运算	加、减、乘、除均可用移位和相加实现；减法用补码化为加法
原码 / 反码 / 补码	符号位 + 真值； $[X]_补=[X]_反+1$ ；0 的补码唯一；8 位补码范围 $-128\sim+127$
补码运算	$[X-Y]_补=[X]_补+[-Y]_补$ ；无符号数最高位向更高位有进位（或借位）则溢出
BCD 码	8421（与二进制一一对应）、5421 / 2421（有权、不唯一；2421 为自反代码）、余 3（无权，8421 + 0011）
格雷码	无权循环码，相邻代码仅一位不同； $R_i=B_{i+1}\oplus B_i$

第一章 数制与 BCD 码 ​

8.1.1 常用数制 ​

1. 常用数制一览 ​

2. 二进制与十进制之间的转换 ​

3. 二进制算术运算 ​

4. 带符号数的表示：原码、反码和补码 ​

8.1.2 几种简单的编码 ​

1. 二-十进制码（BCD 码，Binary Coded Decimal codes） ​

2. 格雷码（Gray 码） ​

3. 计算机字符集 ​

总结要点 ​